Quelles sont les grandes lignes de démonstration de la construction de R (ensemble des Réels) ?
2007-02-23 03:04:15 · 4 réponses · demandé par Pomito 1 dans Sciences et mathématiques ➔ Mathématiques
Je vais essayer de te donner une méthode. (il y en a d'autres, notamment la méthode des coupures de Dedekind).
On suppose construit Q.
on se dote sur l'ensemble E des suites de Cauchy de Q^N d'une relation d'équivalence:
xRy ssi x-y -> 0
NB: on peut définir suite de Cauchy et limites avec les epsilon>0 rationnels.
IR est l'ensemble quotient E/R.
(intuitivement, assimile un réel et la limite de la suite de Cauchy, qui sera convergente dans IR).
On peut injecter Q dans IR, avec les suites constantes à, un rationnel, bien de Cauchy.
On peut prolonger la relation d'ordre de Q, les lois + et . de Q, et montrer que toute partie bornée de IR admet une borne supérieure.
2007-02-23 06:36:36 · answer #1 · answered by Nico 5 · 1⤊ 0⤋
Tout d'abord, il te faut une définition.
DEF : L'ensemble des réels est le plus petit sur-corps de l'ensemble des rationnels vérifiant la propriété suivante :
Pour toute partie bornée de l'ensemble des réels, il existe une borne inférieure.
Bon pour cela, il faut connaître Q et savoir ce qu'est une borne inférieure. Mais bon, je ne vais pas revenir jusqu'aux axiomes de bases des mathématiques.
La construction de R consiste à démontrer qu'un tel ensemble existe. C'est assez complexe et je préfère ne pas tenter de l'expliquer...
2007-02-23 05:00:19 · answer #2 · answered by Yom 2 · 0⤊ 0⤋
Pour construire R il faut des bases
En voilà une
http://abdellah.bechata.free.fr/telechargement/p_adique/pdf/construction_R.pdf
2007-02-23 04:14:55 · answer #3 · answered by jojolapin_99 7 · 0⤊ 0⤋
Je crois que ta question est incompréhensible, mieux vaut la reformuler.
R est l'ensemble de définition des réels, il existe parce que N, Z et Q ne suffisent pas à englober l'ensemble des nombres non imaginaires.
2007-02-23 03:16:07 · answer #4 · answered by Djé, Ministre Du Ridicule (MDR) 6 · 0⤊ 3⤋