Einem Kreis mit Radius a ist ein regalmäßiges Sechseck einbeschrieben.Die Figur wird um eine Diagonale des Sechsecks gedreht.Wie viel Prozent des Kugelvolumens nimmt der Drehkörper ein ? ( Ich kapier des nicht kann mir jemand bei der Rechnung helfen ? )
2007-02-22 02:34:27 · 6 antworten · gefragt von L.A 67 1 in Wissenschaft & Mathematik ➔ Mathematik
Dass das rotierende Sechseck aus zwei Kegeln und einem Zylinder besteht, wurde ja schon hinlänglich beschrieben. Jetzt die Berechnung noch einmal in geschlossener Darstellung:
Sei r der Radius des Kreises.
Dann besteht das einbeschriebene Sechseck aus 6 gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge r.
Der Kreis hat einen Durchmesser von 2r.
Der Zylinder hat die Höhe einer der Seiten der Dreiecke also r.
Die beiden Kegel haben also zusammen die Höhe 2r-r. Also die die Höhe k jeder der beiden Kegel r/2.
Der Radius R des Zylinders ist gleich dem Radius der Grundfläche der Kegel. R berechnet man nach Pythagoras
R=Wurzel(r^2-k^2)
=Wurzel(r^2-(r/2)^2))
=r/2*Wurzel(3).
Das Volumen Z des Zylinders ist Z=r*pi*R^2
=r*pi*(r/2*Wurzel(3))^2
=r*pi*r^2*3/4
=r^3*pi*3/4.
Das Volumen K eines Kegels ist
K=(R^2*pi*p)/3
=((r^2)/4*3*pi*r/2)/3
=(r^3*pi)/8.
Das Volumen S des rotierenden Sechsecks ist
S=Z+2K
=r^3*pi*3/4+ 2*(r^3*pi)/8
=r^3*pi.
Das Volumen V der Kugel ist
V=r^3*pi*4/3.
Die gesuchte Prozentzahl ist also
S/V=(r^3*pi)/(r^3*pi*4/3)
=3/4
2007-02-23 05:14:34 · answer #1 · answered by Zarathustra 2 · 0⤊ 0⤋
Also rechnen kann ich es Dir leider nicht, aber erklären, was zu tun ist.
Du hast ein regelmäßiges flaches Sechseck (am besten aufmalen).
Darum zeichnest Du einen Kreis, der genau die sechs Ecken außen berührt.
Nun malst Du von einer beliebigen Ecke in die gegenüberliegende einen Strich - die Diagonale.
Nun stellst Du dir im Kopf vor, was passiert wenn Du dein Bild so anschubst, dass es sich um diese Diagonale dreht.
Dann ensteht nämlich ein Sechseckkörper (wird also dreidimensional) und eine Kugel (aus dem Kreis).
Zum rechnen schaust Du am besten im Mathebuch oder in einer Formelsammlung die Formeln für das Volumen einer Kugel und das eines sechseckigen Körpers nach. Dann ziehst du vom Kugelvolumen das andere ab. Den Wert setzt Du nun in Prozent zu der Summe der beiden Volumen.
2007-02-22 02:49:50 · answer #2 · answered by little*media 3 · 1⤊ 0⤋
Dein Sechseck kanst du dir zerteilen, es werden zwei gleichschenklige dreiecke und ein rechteck daraus.
Wenn man ein dreieck dreht entsteht ein Kegel, aus dem rechteck ein Zylinder.
der Durchmesser des Kegelbodens entspricht dem Durchmesser des Zylinders und beide sind gleich dem Abstand zweier paralleler Linien des Sechsecks (APL).
Die Höhe des Zylinders ist gleich der länge einer der Sechseckseiten.
Die Höhe des Kegels berechnest du am besten aus dem Pythagoras : h^2 = Seitenlänge^2 - (1/2*APL)^2
Damit hast du prinzipiell für die Innenfigur alle Beziehungen.
Wie lange eine Seite und wie groß APL ist, ergiebt sich auch geometrisch. Habs allerdings nicht parat. Hoffe das dafür dir noch jemand hier helfen kann.
Danach berechnest du nu noch das Kugelvolumen und teilst das Volumen der Innenfigur durch das des Kugelvolumens. Mal hundert genommen ist die gesuchte Prozentzahl.
Achja, Rotieren um eine Achse ist IMMER möglich es muss nicht ein Punkt sein.
2007-02-22 06:01:04 · answer #3 · answered by SAD-MG 4 · 0⤊ 0⤋
Naja...!
Aus meiner Sicht kannst Du auf der Ebene berechnen, wieviele Prozent der Kreisfläche das Sechseck einnimmt. Weil Du die Drehung bei beiden Figuren "im Kreis rum" machst, ändert sich an diesem Verhältnis rein gar nichts durch die Erweiterung auf 3D.
2007-02-22 03:03:48 · answer #4 · answered by swissnick 7 · 0⤊ 0⤋
little me und sad mg haben das Problem weitgehend analysiert.
Es enstehen durch das rotierendende Sechseck zwei Kegel und
ein Zylinder, deren Volumen du mit Hilfe
der Höhe h im gleichseitigen Dreieck berechnen kannst.
Die Grund- und -deckfläche des Zylinders sind gleichzeitig
die Kegelgrundfläche und haben den Radius h.
h von einem der 6 gleichseitigen Dreiecke des Sechseckes
(Fläche vor der Rotation) berechnest du mit dem Pythagoras:
Die Höhe h ist die Wurzel aus (a hoch 2 plus a halbe hoch 2).
Zylinderhöhe ist a und Kegelhöhe ist a halbe.
Den Rest der Aufgabe haben meine Vorgänger schon ausführlich erläutert.
2007-02-22 08:26:07 · answer #5 · answered by wmmnoro 3 · 0⤊ 1⤋
...man kann nix um eine diagonale drehen, sonder nur um einen punkt...
...und wenn du ein sechseck im kreis hast, wo kommt dann das kugelvolumen her??....
2007-02-22 02:44:30 · answer #6 · answered by Anonymous · 0⤊ 5⤋