Resolver una integral de flujo?

Question

alguien me puede ayudar a resolver esta integral de flujo, aca les dejo el link del parcial escaneado es el punto 4 a)
comense a hacerlo aplicando gauss pero nose como parametrisar eso q me dan....
salu2 y desde ya muchas gracias

este es el link para descargar el parcial...
http://file2upload.com/file/28714/parcial-bmp.html

Answer 1

Fijate, vi el problema y estado pensando lo siguiente :

Flujo, por ley de Gauss es : Integral cerrada de la F(x,y,z).dS

Donde S es la superficie, y F la funcion.

Pero la integral de superficie es igual a :

integral doble de F(x,y). dx.dy

En el problema

16z = 3(x^2+y^2)

Y x^2+y^2+z^2 = 25

luego : 16z = 3(25-z^2)

3z^2 + 16z - 75 = 0

z = 9, -25, es decir z e [ -25 ; 9 ]

Ahora, estos puntos no pertenecen a la esfera, pero si tomamos z = 9, nos quedara :

x^2 + y^2 = 48

ahora : z = raiz total de (25 - x^2 - y^2 )

que tal si integramos :

integral de raiz( 25 - x^2 - y^2) dx.dy

donde x^2 + y^2 = 48, puntos interiores a esta curva

radio de la cirfuncerncia = raiz de 48

ahora, pasando x, y a coordenadas polares :

x = rcos(alfa)
y = rsen(alfa)

integral de raiz(25 - r^2)*r.dr.d(alfa)

r varia de 0 a raiz de 48

alfa varia de 0 a 2pi

entonces integrando, nos sale.

( obviare el metodo de integracion )

25/2*[(r/5)^2]*2pi

esto nos sale : 25/2 * 48/25 * 2pi

La integral sale : 48pi.

Es diferente que si calculas por ej :

El problema (2c), te pide el area, ahi tienes que aplicar lo siguiente :

tienes z = 4 - x^2 - y^2 ; entonces
derivada de z respecto de x = -2x
derivada de z respecto de y = -2y

entonces lo que tendras que integrar es :

integral de raiz total ( 1 + 4(x^2+y^2)) dx.dy

donde x, y, varian de acuerdo a : x^2 +y^2 = 1

entonces usando coordenadas polares, x = rcos(alfa), y =rsen(alfa)

entonces r varia de 0 a 1
y alfa de 0 a 2pi

calculando : integal de raiz[ 1 +4(x^2 + y^2)]dx.dy

seria : integral de [ 1+r^2]*r*dr.d(alfa)]

En este problema aplicas este procedimiento, en el otro me parece es diferente porque te piden flujo.

Fijate, no estoy seguro de este resultado, porque he usado integral de superficie, porque, usando gauss, como que se dificultaba mas, espero haberte ayudado, sino, bueno, se intento.

Answer 2

http://integrals.wolfram.com/index.jsp

checa este link me dises si te sirve [e-mail]