¿Me pueden demostrar o resolver una ecuacion cubica?

Question

Sea la ecuacion cubica:
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
Hallar x.


10 puntos para el que lo demuestre.

Answer 1

Bueno, en primer lugar, debo decir q patricio le echó bola con la respuesta ue te dió, en efecto, una ecuación de tercer grado tiene 3 raíces, de las cuales o bien una o bien las 3 son reales, si se presentaran complejas, estas serían 2 conjugadas.
Ahora bien, en cuanto @ como resolverla, te cuento que cuando estaba estidiando cálculo en la universidad, se nos enseñó que analíticamente no existe un método seguro para resolver ecuaciones polinómicas de grado mayor que 2 (tercer grado en adelante), claro, salvo casos específicos (por ejemplo, de grado 4 con los coeficientes de grado impar nulos, o de grado 3 sin término independiente). Para grado 3 en adelante, la teoría no recomienda buscar métodos analíticos, si no más bien aplicar métodos numéricos. Por ejemplo, es de mucha ayuda en estos casos el método de Newton-Raphson. Es un método que trabaja con la primera derivada, haciendo uso de un procedimiento de ensayo y error..
Para una función cúbica de la forma y=ax^3+bx+cx+d, la primera derivada tiene la forma y'=3ax^2+2bx+c.
Lo que se hace es seguir un esquema como el que te presento @ continuación:
1. Asumir el valor de x que satisface tu ecuación (lo llamaremos x_a)
2. Con el valor de x_a, hallar la función, en este caso con la expresión
y = a(x_a)^3 + b(x_a) + c(x_a) + d
3. Comparar y = 0 (dentro de una tolerancia adecuada)
3.1 Si y =/= 0
3.1.1 Con el valor de x_a, hallar y', en este caso con la expresión
y' = 3a(x_a)^2 + 2b(x_a) + c
3.1.2 Calcular una nueva x (con la x_a, y e y'), con la expresión
x_a = x_a - y / y'
(osea, la x_a va @ ser sustituida por la expresión x_a - y / y')
3.1.3 ir @ paso 2
3.2 Si y = 0
x_a es la solución.

Como verás, es un procedimiento de ensayo y error, pero generalmente da respuesta con pocas iteraciones, eso depende del valor inicial que le des @ tu x_a. Este método te permite encontrar una solución. Para el caso de ecuaciones cúbicas pueden haber 3 soluciones, para hallar las demás, puedes repetir el procedimiento @ partir de una nueva iteración con otra suposición inicial. Como dato adicional, siempre es de ayuda graficar la función, y escoger como suposiciones iniciales valores cercanos @ los puntos de corte con el eje x.
Espero haber sido de tu ayuda. Salu2 & éxitos.

Answer 2

I. El caso general

Una ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

ax³ + bx² + cx + d = 0,

donde a, b,c y d (a ≠ 0 ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a ℂ. Sea K un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas. En este cuerpo, es posible factorizar por todo a ≠ 0, y la identidad siguiente es válida:

(a - b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 - b3

Basta con encontrar una solución, digamos r, pues al factorizar ax3 + bx2 + cx + d por x - r, obtenemos una ecuación de segundo grado que sabemos resolver, lo que dará las demás raíces. En un cuerpo algebráicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 3 tiene tres raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.

Los pasos de la resolución son:

* Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0 ). Se obtiene:

x3 + b'x2 + c'x + d' = 0 con b' = b/a, c' = c/a, d' = d/a.

* Proceder al cambio de incógnita z = x + b'/3, para suprimir el término cuadrado. En efecto, al desarollar (z - b'/3)3 con la identidad precedente, vemos aparecer el término -b'z2, compensado exactamente por b'z2 que aparece en b'(z - b'/3)2. Se obtiene:

z3 + pz + q = 0, con p y q números del cuerpo.

* y ahora, la astucia genial: escribir z = u + v.

La ecuación precedente da (u + v)3 + p(u+v) + q = 0.

Desarollando: u3 + 3u2v + 3uv2 + v3 + pu + pv + q = 0.

Reagrupando: (u3 + v3 + q) + (3uv2 + v3 + pu + pv) = 0.

Factorizando: (u3 + v3 + q) + (u + v)(3uv + p) = 0.

Comó se ha introducido una variable adicional (u y v en vez de z) , es posible imponerse una condicion adicional. Concretamente:

3uv + p = 0, que implica u3 + v3 + q = 0 .

* Pongamos U = u3 y V = v3. Entonces tenemos U + V = - q y UV = - p3/27 porque UV = (uv)3 = (-p/3)3.

Por lo tanto U y V son las raíces de la ecuación auxiliar (E) X2 + qX - p3/27 = 0, que se sabe resolver.

Luego u y v son raíces cúbicas de U y V (que verifican uv = -p/3), z = u + v y finalmente x = z - b'/3. En el cuerpo C, si u0 y v0 son estas raíces cúbicas, entonces las otras son ju0 y j2u0, y por supuesto jv0 y j2v0, con j = e2iπ/3, una raíz cubica de la unidad.

Como el producto uv está fijado ( uv = -p/3) las parejas (u, v) posibles son ( u0, v0), ( ju0 , j2v0) y (j2u0, jv0).

Las otras raíces de la ecuación de tercer grado son por lo tanto ju0 + j2v0 - b'/3 y j2u0 + jv0 - b'/3.
II. El caso real

Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebráicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran en C, extensión agebráica cerrada de R. La distinción aparece cuando se sacan las raíces cuadradas en el cálculo de U y V. Las raíces cúbicas no plantean problemas.

Se demuestra que el número de raíces reales depende del discriminante (multiplicado por 27) de la ecuación auxiliar Δ = 4p3 + 27q2:

* Si Δ > 0 existe una única raíz real. Las demás son complejas conjugadas.
* Si Δ = 0 existe una raíz multiple real: una raíz triple o una doble y otra simple, todas reales.
* Si Δ < 0 existen tres raíces reales.

Habrán notado que siempre hay por lo menos una solución real. Es debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en + ∞ y - ∞ y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. Como son funciones contínuas, tienen que pasar por cero, por el teorema de los valores intermedios. En la figura siguiente se registra todos los casos, según los signos de a y de Δ.


III. Primer ejemplo

Sea 2t3 + 6t2 + 12t + 10 = 0 Sigamos los pasos descritos en el primer párrafo.

* t3 + 3t2 + 6t + 5 = 0 (al dividir por 2)
* con x = t + 1, es decir t = x - 1 reemplazando: (x - 1)3 + 3(x - 1)2 + 6(x - 1) + 5 = 0

desarollando: x3 + 3x + 1 = 0

* x = u + v, U = u3, V = v3 y nos imponemos U + V = - 1 y UV = - 1.

U y V son las raíces de X2 + X - 1 = 0.


IV. Segundo ejemplo

Este ejemplo es histórico porque fue el que tomo Bombelli quien fue, con Cardano, el primero en resolver ecuaciones del tercer y cuarto grado por el método ya expuesto (en la Italia del renacimiento, en pleno siglo XVI).

La ecuación es x3 - 15x - 4 = 0.

Estudiando la función x → x3 - 15x - 4 o calculando el discriminante Δ = -13068 < 0, nos damos cuenta que esta ecuación tiene tres raíces ( vean el cuadro 3 de la figura). Por lo tanto debería ser más facil que en el primer ejemplo encontrar una.

Los dos primeros pasos son inútiles. Pasamos al tercero: x = u + v , U = u3, V = v3.

U + V = 4 y UV = 125

U y V son las raíces de X2 - 4X + 125 = 0, ecuación cuyo determinante ya hemos calculado y que es negativo. Por lo tanto no tiene raíces reales. Este método no permite encontrar las raíces, todas reales, pasando obligatoriamente por los complejos. ¡ Es paradójico !

Esta constatación fue un argumento a favor de los complejos: son herramientas imprescindibles para resolver ecuaciones, aunque sólo tengan soluciones reales.

Hallamos U = 2 - 11·i y V = 2 + 11·i. Extraer raíces cúbicas en los complejos no es lo mismo que en los reales. Hay dos métodos: uno geométrico, que utiliza el argumento y el módulo (se divide el argumento por tres, y se toma la raíz cúbica del módulo), y otro algebraico, que emplea las partes real e imaginaria: Pongamos u = a + bi.

u3 = 2 - 11i equivale al sistema:

a3 - 3ab2 = 2 (parte real)

3a2b - b3 = - 11 (parte imaginaria)

a2 + b2 = 5 (módulo)

Obtenemos a = 2 y b = -1, o sea u = 2 - i, y v es su conjugado: v = 2 + i.

En conclusión, x = u + v = (2 - i) + (2 + i) = 4, lo que se verifica de inmediato.

Las otras raíces son x' = j(2 - i) + j2(2 + i) = - 2 + √3 y x" = j2(2 - i) + j(2 + i) = - 2 - √3.

Cuando Δ es negativo, U y V son conjugados, y por lo tanto también lo son u y v (con tal de bien escoger la raíz cúbica, recordando que uv = -p/3); así estamos seguros de obtener un x real, y de hecho también x' y x".

Answer 3

este señor patricio estara de coña con todo lo q ha escrito ahi.q hace aqui pudiendo estar de premio novel de fisica o algo parecido.q fuerte!Q genios!Q analfabeta soy.besitos.

Answer 4

LO SIENTO, CREO QUE DEBERIAS SER UN POQUITO MAS ESPECIFICO NO LOGRO ENTENDER ==> ¿ P = NP ? HASTA ESTE MOMENTO, RAZONO QUE l. a. ECUACION SIGNIFICA UN stability DE ALGO POSITIVO CON SU SIGNO CONTRARIO ??? NO LOGRO ENTENDER ESTA SITUACION SALU2

Answer 5

GUAU!!

NO MANCHES!!

ME ESTA SALIENDO HUMO DE LA CABEZA CON SOLO LEER LA RESPUESTA DE PATRICIO!!!