ellisse...?

Question

sto studiando l'ellisse e mi sembra di aver capito più o meno tutto dell'ellisse.però c'è un punto che non mi molto chiaro.ho trovato un esercizio sul mio libro che dice:
scrivi per quali valori di "k" l'equazione
x^/k-6 + y^/2 =1
(k-6 è il denominatore di x^ e 2 è il denominatore di y^)

a)rappresenta un ellisse, precisando per quali valori si ha una circonferenza;
b)rappresenta un ellisse con i fuochi sull'asse x.

non riesco proprio a capire cosa devo fare. devo applicare qualche formula particolare? quale procedimento devo fare?
grazie in anticipo

ps x^ e y^ stanno per x al quadrato e y al quadrato.

per jorjino: tutti i risultati che mi hai dato sono giusti ma la seconda richiesta mi da k>8 non ho capito perchè. come faccio a dimostrarlo?

Answer 1

L'ellisse è il luogo dei punti del piano equidistanti da due punti dati detti fuochi che si trovano lungo l'asse maggiore dell'ellisse stesso e sono a loro volta equidistanti rispetto al suo centro.
La generica equazione dell'ellisse centrato sull'origine del piano cartesiano è (usando le stesse tue convenzioni grafiche) x^/a^+y^/b^=1 dove a è la lunghezza del semiasse maggiore e b la lunghezza del semiasse minore.
Nel caso considerato a^=k-6 e b^=2, pertanto l'equazione rappresenta un ellisse per tutti i valori di k maggiori di 6 (infatti, se k=6 x^/a^=x^/0=infinito se k<6 il valore di a^ è negativo, dunque indefinito nel campo reale).
Inoltre l'eccentricità dell'ellisse è data da radq(1-b^/a^) e può variare tra 0 (eccentricità nulla => i due assi sono uguali e quindi l'ellisse è una circonferenza) e 1 (eccentricità massima => l'asse minore b=0 e l'ellisse diventa una linea orizzontale coincidente con l'asse maggiore). Per avere una circonferenza dobbiamo dunque avere b^=a^ in modo che b^/a^=1 e la formula dell'eccentricità ci restituisca 0. L'unico caso in cui ciò può avvenire è per k=8 (radq(1-[(8-6)/2])=0).
La risposta alla domanda b) è immediata in quanto l'equazione fornita rappresenta già un ellisse centrato sull'origine del piano cartesiano, dunque tutti gli ellissi trovati alle condizioni valide per la domanda a) rispondono anche alla domanda b).
Ciao
J.


22/02/07
Hai ragione, scusa.
Per K=7 l'equazione diventa x^/1+y^/2=1 che è come dire x^+y^/2=1, quindi l'ellisse giace sull'asse y.
Infatti si ha che a^=1 e b^=2, pertanto a=1 e b=radq(2)=1,41.
Dunque l'asse minore diventa a e l'asse maggiore diventa b e i fuochi giaccono su b, cioé sull'asse y. Dunque l'ipotesi b) è verificata solo per k>8 (per k=8 abbiamo già visto che si tratta di una circonferenza).
Ri-ciao
J.

23/02/07 Ulteriore (ed ultima) precisazione.
Sono andato a riguardarmi il libro delle superiori (l'ottimo Zwirner.....lo consiglio) ed ho visto che per la forma canonica dell'equazione dell'ellisse sono imposte le seguenti condizioni:
a,b diversi da 0 e a>=b.
Le prime sono ovvie e ci si era già arrivati per logica. Ricordandomi la seconda avrei evitato fin da subito di darti una risposta sbagliata. Infatti questo è proprio il caso di k=7 (a^=1, b^=2). Spero di esserti stato utile comunque.
Ciao
J.

Answer 2

Devi trovare i fuochi portandoti dietro il parametro K, poi per il primo quesito devi imporre che i due fuochi coincidano, mentre per il secondo che l'ordinata y dei fuochi sia nulla.
Con entrambe le imposizioni dovresti riuscire a risolvere in K, trovando dei valori precisi o un dominio.

Answer 3

Quella che hai trovato si chiama famiglia di coniche, e come dice una parola sono tante coniche legate da una particolare relazione.
A questo punto, devi cercare in che modo cambia la conica in funzione del parametro k.
Puoi andare per tentativi, cioè sostituisci un valore a k e vedi che conica risulta, in questo modo puoi capire più o meno in che modo la famiglia "si muove".
Provando a fare qualche esempio, prova a sostiuire k=-10, e vedrai che ottieni un'iperbole, oppure k=6, e ottini una parabola, oppure prova per k=20, e ottieni un'ellisse.
A questo punto, provi a cercare delle particolarità delle coniche in relazione alle sue equazioni.
Quindi avrai delle iperboli per k<6, una parabola per k=6, e degli ellissi per k>6 e una circonferenza per k=7