comment résoudre une équation différentielle de 3ème degré?

Answer 1

Pour résoudre l'équation homogène tu commences par écrire ton équation caractéristique. Regarde d'abord si tu n'as pas de racine évidente qui te ramènerait à une équation de degré 2 ou alors prends ton courage à deux mains et applique la formule de Cardan (ou demande à un logiciel de type Maple de le faire à ta place).
Ensuite tout dépend du nombre de solutions distinctes.
Si tu as trois solutions a, b et c, les solutions sont une combinaison linéaire des solutions élémentaires exp(a.x), exp(b.x) et exp(c.x) (à une constante près bien entendu).
Si tu as des solutions opposées ou conjuguées, exprime les solutions sous forme de cos, sin, cosh ou sinh, c'est quand même plus élégant.
Si tu as une solution double a et une solution simple b, les solutions élémentaires deviennent: exp(a.x), x.exp(a.x) et exp(b.x).
Enfin si tu as une solution triple a, les solutions élémentaires sont exp(a.x), x.exp(a.x) et x².exp(a.x)

Answer 2

Si elle est linéaire c'est la même méthode que pour le deuxième degré (d'ailleurs on dit plutôt deuxième ou troisième "ordre" que degré).

Tu commences par résoudre l'équation caractéristique de l'équation homogène associée. Si on note a, b, c les racines (qu'on peut trouver par la méthode de Cardan), l'espace solution est engendré par les fonctions e^ax, e^bx, e^cx (du moins quand a, b et c sont distincts ; on retrouve ici la même discussion qu'avec le deuxième ordre).

Il "suffit" ensuite de trouver une solution particulière. Toutes les solutions en découleront en ajoutant celles de l'équation homogène.

Answer 3

dans le cas général, on ne sait le faire que pour les équations linéaires à coefficients constants.

Answer 4

Ben donne la ton equation