équivalent simple?

Question

bonsoir a tous c'est quoi l'équivalent simple de ln(t +(t^2+1)^1/2) jespére que c'est clair pour vous :) au fait c'est ln de t +racine de t au carré +1,,,,,,,Quand t tend vers o ainsi que + Linfin

Answer 1

En +infini un équivalent précis est ln t + ln 2 (mais évidemment ln t marche aussi, quoique moins précis) car :
(t^2+1)^1/2 = t + o(t) (évident)
donc ln(t+(t^2+1)^1/2) = ln(t+t+o(t)) = ln (2t+o(t)) ~ ln (2t) = ln t +ln 2.

En 0 un équivalent simple est t, mais attention à être bien précis. On sait qu'en 0 :
(u+1)^1/2 = 1 + u/2 + o(u^2)
donc : (t^2+1)^1/2 = 1 + t^2/2 + o(t^4)
donc ln(t+(t^2+1)^1/2) = ln (t+1+t^2/2 +o(t^4)) = ln (1+t+t^2/2 +o(t^4))
et comme ln (1+u) ~ u en 0, on en déduit :
ln(t+(t^2+1)^1/2) ~ t+t^2/2 ~ t.

Remarque : je préfère n'utiliser les équivalents qu'en fin de raisonnement. Les petits o permettent de manipuler librement des égalités sans risque de se tromper, alors qu'il est a priori interdit d'effectuer des opérations comme les sommes ou les compositions avec des équivalents...

Answer 2

pour t-> 0
(1+t²)^1/2 = 1 + t²/2 + o(t²)
t+ (1+t²)^1/2 = 1 + t + t²/2 + o(t²)

ln(t+ (1+t²)^1/2 ) = t + o(t)
donc un équivalent simple en 0 est t -> t.


en +infini

rac(1+t²) = t rac (1+1/t²) or 1/t² -> 0 pour t -> + infini
donc par compoostion des o
rac(1+t²) = t (1 + 1/2t² + o(1/t²)) = t + 1/2t + o(1/t)
t+rac(1+t²) = 2 t + 1/2t + o(1/t)
ln(rac(1+t²)+ t) = ln(2t + 1/2t + o(1/t) )
= ln (2t) + ln (1 + 1/2t² + o(1/t²))
= ln t + ln 2 + 1/2t² + o(1/t²)

en particulier, un équivalent simple est t -> ln t. (je t'ai fait le développement asymptotique à l'ordre 2 en 1/t)

Answer 3

Quand t -> 0, t+racine(t2+1) tend vers 1 (clair ?), donc ln tend vers 0
Quand t tend vers + infini, racine(t2+1) tend vers t, donc ln (2t) -> +infini

Answer 4

En 0:
Ln(1+u) equ. u
donc Ln(t+rac(t²+1)) equ. t+rac(t²+1)-1 equ. t
car rac(t²+1)-1 equ. 1/2t²

En + inf
Ln(t+rac(t²+1)) = Ln(t) + Ln(1+rac(1+1/t²)) equ. Ln(t)