¿Sobre ecuaciones de la recta y el plano?

Question

Se pasar de ecuación vectorial>>paramétrica>>continua>>general

Pero... ¿cómo ir hacia atrás?

Graaaaaaacias! ;)

Answer 1

Es realmente muy sencillo, el truco es saber sacar de cada tipo de ecuacion un punto de la recta y el vector director de la misma, si estas en forma general ax+by+c=0 el vector director de la recta es el (-b,a), y para sacar un punto simplemente da un valor a una de las dos incognitas a la x o a la y y despejas el valor de la otra, en el momento que lo tienes el punto y el vector la ecuacion vectorial al sabes hacer, o la parametrica o la continua
Si te lo dan en forma continua, solo tienes que fijarte que los denominadores son el vector director y el numero que resta a la x y a la y es el punto
Si te lo dan en forma parametrica, x=a+bt
y=c+dt
(a,c) es el punto y (b, d) el vector
Si te lo dan en fomra punto pendiente y-b=m(x-a)
(a,b) es el punto y m la pendiente m=d/c y el vector seria (c,d)
Tu piensa que cuando tienes punto y pendiente sabes calcular la forma vectorial y de ahi deducir las otras de todos modos un consejo para ahorrar tiempo, deberias saberte las expresiones de las distintas ecuaciones de la recta, y si te fijas salvo la general que la tienes que sacar a partir bien de la continua bien de la punto pendiente las otras las puedes obtener de manera aislada sin tener que empezar por la primera
Imagina este ejemlplo
sea la recta 3x+2y-5=0 quiero que la expreses en forma parametricas
el vector seria (-b,a)=(-2,3) y un punto demos por ejemplo a la x=1 3*1+2y-5=0
3+2y-5=0
2y=2
y=1
Un punto por el que pasa es (1,1)
La ecuacion parametrica seria
x=1-2t
y=1+3t
Si me pidiran la punto pendiente un punto ya lo tengo me sirve el (1,1), solo me falta la pendiente peor al tener el vector solo tienes que dividir las cordenadas la segunda entre la primera m=-3/2
y-1=-3/2 (x-1)
Espero que te haya servido de ayuda

Answer 2

Ecuaciones de r: 3x-y = (3+3t)-(3+3t) = 0 z-x = (3+t)-(one million+t) = 2 => r: 3x-y = 0, x-z = -2 Efectivamente, es paralela a s. Escribamos las ecuaciones paramétricas del plano: x = one million + t + a u y = 3 + 3 t + b u z = 3 + 3 t + c u El plano determinado por estas ecuaciones evidentemente contiene a l. a. recta r (si u=0), falta que contenga a un punto de l. a. recta s. (one million, 7, 5) es un punto de s. Entonces one million = one million + t + a u 7 = 3 + 3 t + b u 5 = 3 + 3 t + c u Eliminando t de las ecuaciones, obtenemos 2 = (b-c)u 4 = (b-3a)u.s. u=2 y a=one million => b=5 c=4 El plano que contiene a ambas rectas es: x = one million + t + u y = 3 + 3 t + 5 u z = 3 + 3 t + 4 u ó (x,y.z) = (one million,3,3) (t+one million) + (one million,5,4) u = = (one million,3,3) t' + (one million,5,4) u En ecuaciones: 3x + y - 2z = 0 Busquemos l. a. recta perpendicular a dicho plano que pasa por el origen: (one million,3,3)x(one million,5,4) = (3,-one million,2) Entonces l. a. ec. paramétrica de dicha recta es x = 3t y = -t z = 2t ? (x²+y²+z²) = |t|?(9+one million+4) = ?14 |t| = ?6 => t=?(3/7) => el punto ?(3/7) (3,-one million,2) dista ?6 del plano. Para este punto, 3x+y-2z=?(3/7)(9-one million+4)=12?(3/7) l. a. ecuación del plano buscado es entonces 3x + y - 2z = 12?(3/7)

Answer 3

Hola:


Suponte la ecuacion general:
Ax + By + Cz + D = 0

Esto equivale a : (Ai + Bj + Ck)(xi + yj + zk) = -D

siendo i, j, k los versores en x , y , z.

Si llamamos al primer vector N, tenemos

N . r = -D siendo . el producto interno y r el vector posicion.

Puedes normalizar a N dividiendo ambos miembros
por la norma de N.

Saludos.

Answer 4

Casi no lo recuerdo pero te puedo asegurar que simplemente lo haces despejando para las variables que necesitas, usando distintos métodos como el uso de matrices para resolver sistemas de ecuaciones.