pour quoi i²=-1????

Answer 1

C'est Cardan, mathématicien du 16ème siècle, qui a défini de nouveaux nombres, appelés imaginaires,; il venait de découvrir la solution générale de l'équation du 3ème degré, et avait trouvé 3 solutions basées sur 3 racines carrées, dont 1 ou 3 concernait des valeurs positives. Pour pouvoir dire qu'il y avait toujours 3 solutions, il a décidé, par convention, que les racines des nombres négatifs -X seraient représentés par √X * √-1. Cela permettait de manipuler les solutions sans se préoccuper de leur réalité, sachant qu'ainsi il y en aurait toujours 3.
Plus tard, ce nombre s'est montré très efficace en électricité , en analyse et en relativité générale (Minkowski ayant rendu les équation d'Einstein beaucoup plus simples en utilisant ce fameux i).
Mais c'est bien Cardan le père, en 1545

Answer 2

Pour pouvoir trouver n solutions à toutes les équations du nième degré. C'est une des idées qui a amené la construction du corps des nombres complexes.

Ainsi, l'équation x^2+x+1=0 qui n'admet pas de racine entière a des racines complexes.

C'est pour cela qu'on a imaginé ce nombre imaginaire i^2=-1

Il y a d'autres raisons, qui sont abordées bien après la terminale comme :
- le lien entre les repérages dans les intersections des cônes de révolution et du plan (ellipses, paraboles et hyperboles), et donc le lien entre sinus/cosinus sinus/cosinus hyperbolique et implicitement le lien entre la fonction exponentielle et les fonctions trigonométriques.

Il y a aussi la formule qui fait le lien entre e et pi : e^i*pi=1

i est très utile pour cela.

En physique, il y a aussi besoin des nombres complexes par exemple en électromagnétique pour résoudre les équations de maxwell, et un tas d'autres, pour décrire le comportement des particules, des atomes (équation de schrödinger) ...

Voilà des exemples parmi tant d'autres.

Et pour conclure, la science ne répond pas à la question du pourquoi (c'est la religion qui s'en occupe), mais à la question du comment.

Un scientifique ne pourra jamais te dire pourquoi une pomme tombe par terre. Il décrira comment elle tombe. Nuance. Mais là, on s'approche de la philo.

A priori, il faut un parti pris religieux pour dire pourquoi la pomme tombe, ou pourquoi telle ou telle chose se passe. A priori, on n'en sait rien. Donc, pourquoi i^2=-1 ? Demande à un curé, un rabbin ou un imam ... Moi je t'ai donné des éléments de réponse sur la question du comment.

Answer 3

C'est une propriété de l'ensemble des Complexes, donc voilà...

Answer 4

C'est une definition, il n'y a donc pas de "pourquoi". On construit les maths a partir de postulats comme celui-ci.

Answer 5

Car "i" est extraterrestre

Answer 6

i = Racine carrée de -1. c'est comme ça.Un point c'est tout

Answer 7

bienvenu dans l'univers magique des complexes qui t'ouvres pleins de nouveaux horizons (si si je t'assure)

Answer 8

Je tiens à ajouter à la dernière réponse, il n'y a pas d'expression algébrique finie de + - * / et racine qui peuvent produire les solutions à partir des coefficients (corrolaire du Théorème d'Abel-Ruffini), dans la plupart des cas.

Pour i, comme cela a été dit, il est apparu durant la renaissance car il apparaissait dans la résolution des équations de degré 3, pour disparaitre plus tard. C'était une "astuce de calcul".
Plus tard, on a découvert beaucoup d'applications aux nombres complexes, en électricité (permet de donner en une seule expression la tension, l'intensité et la phase du courant), en géométrie plane (rotations), la résolution d'équations différentielles, etc.


P.S. je tiens à ajouter (au vu d'une réponse suivante) que i NE VAUT PAS racine carée de -1 !!!!
Si c'était le cas, on aurait i²=-1 et i²=(racine carrée de -1) * (racine carrée de -1) = racine carrée de (-1 * -1) = racine carrée de 1=1 !!!!
La racine carrée n'est définie (et le sera toujours) sur ]0,+infini[, et elle vérifiera toujours racine a * racine b = racine ab.

Answer 9

Les nombres complexes sont apparus durant la renaissance italienne. Beaucoup de gens pensent a tort qu' ils ont été créé pour avoir des solutions aux équations du 2nd degré .Mais c' est faux car le fait que x²=-1 n' ait pas de solution dans R ne posait aucun problème.... En fait, c' est dans la résolution des équation des équations de degré 3 et supérieur que cela posé problème... En effet certaines de ces équations admettaient des solutions dans R mais ont arrivé pas a les calculer .C est la qu' est apparu le génie des algébriques italiens tels Cardan,Bombelli,Tartaglia ils ont utilisés ce que nous connaissons aujourd' hui comme les nombres complexes, en les utilisant comme artifice de calcul ils arriaient ainsi a trouver les solutions réelles d' équtions de degré supérieur à 3... Mais à l' époque ce n' est qu' un outil de calcul pour trouver des solutions réelles a des équations d' ordre 3 et supérieur, en effet, comment aurais t- il put justifier l' existence de ces nombres imaginaires.... Ce n' est que plus tard qu' on s' est rendu compte de leur utilité dans bien d' autres domaine,qu' on a tenté de les definir rigoureusement ( de nos jours la definition des nombres complexes que l' on donne a l' université est celle élaborée par Hamilton) et que l' on s' est alors mis a les étudier.

Je finirais en ajoutant que la methode que vous connaissez permettant de calculer les racines d' une équation du 2nd degré grace au discriminant n' est en fait qu' un cas particulier , il existe aussi des discriminant pour des equations de degré superieur mais ils sont bien trop "indigeste" pour etre appris par coeur

Answer 10

c'est la construction de l'ensemble C