Gruppi ciclici?

Question

Scusate ma ho smarrito da qualche anno i miei appunti di algebra... volevo chiedere agli illustri matematici del gruppo:
Ogni gruppo ciclico di cardinalità finita N è isomorfo a Zn?
Se g è un generatore di G, cosa si può dire dell'ordine di g^k?
E' o non è sempre il MCD(k,n)?
Credo di ricordare qualcosa del genere ma non ne sono sicuro.
E che altro si può dire di interessante sui gruppi ciclici? Dai stupitemi!!
Grazie in anticipo. Spero di sentire tutti i migliori, che sono tanti e stimo tantissimo!

Come sempre Lulisja è ottima: preparata, precisa e minuziosa!
Grazie Lulisja!

Grazie Gabriele, lo sapevo, infatti l'ho scritto anche in una mia risposta a qualche domanda, qui mi ero confuso...
Sembrerebbe che avete tutto cio che c'è da sapere sui gruppi ciclici... mi ricordo che c'è qualcosa sull'invertibilità però... affinché ogni elemento sia invertibile è necessario che l'ordine del gruppo sia un numero primo? O qualsiasi n va bene?

Mi sa che ho preso una cantonata!!
E' ovvio che ogni elemento è invertibile!!

Answer 1

Come sai un gruppo si dice ciclico quando tutti i suoi elementi sono delle potenze del generatore.
Ogni gruppo ciclico di ordine n è isomorfo ad un Zn e a meno di isomorfismi è unico.
Per quanto riguarda il generatore, dobbiamo distinguere due casi.
Sia G un gruppo ciclico e x un suo generatore

1 CASO
Se G infinito, allora x^n è generatore se e solo se n = 1 o n = -1

2 CASO
Se G finito di ordine m, allora x^n è generatore se e solo se
MDC(m, n) = 1

Volendo dire qualcosa in più su questi gruppi.
Una importante osservazione è che con i gruppi ciclici è possibile invertire il teorema di Lagrange.
Innanzitutto ricordo tale teorema:
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Sia G un gruppo finito e sia H un suo sottogruppo
Allora l'ordine di H divide l'ordine di G
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Cosa significa invertire tale teorema?
Sia G un gruppo finito di ordine m (|G| = m), sia d un intero naturale che divide m (d|m), allora invertire significa porci il seguente quesito:
Esiste un sottogruppo H di G tale che il suo ordine sia proprio d?

In generale non vale, ma se G è un gruppo ciclico, allora vale e si dimostra che tale sottogruppo è unico.

Ciao!!!
Lulisja

Answer 2

Beh...premia Lulisia o come diavolo si chiama ;-) ! Nulla da aggiungere!

Answer 3

mi pare sia stato detto molto aggiungo solo che l'ordine di g^k non è MCD(k,n) altrimenti se k è coprimo con n l'ordine di g^k dovrebbe essere 1. l'ordine di g^k è n/MCD(k,n).

Answer 4

Che erano gli appunti fatti sul libro delle giovani marmotte?

Answer 5

viene 23