Mathematik Matrix zum Quadrat. Wie berechne ich Matizen mit Exponenten?

Question

Ich habe hier eine Aufgabe, inder ich eine Matrix berechnen muss, die zum Quadrat steht. Ich weiß aber nicht, wie ich auf die antwort komme, welche mir gegeben wurde. Daher möchte ich gerne wissen, welche forlen hier genutzt wurden und wie ich weiterhin matizen berechnen kann, welche der folgenden aufgabenstellung ähneln: Hier die Aufgabe:

P = (3 1) und P² = (10 6)
.......(1 3)................. (6 10)

wie komme ich auf diese Lösung, bitte erklären:

Answer 1

Grundsätzlich kommen dabei die Formeln für die Matrixmultiplikation zur Anwendung – i-Zeile mal j-Spalte um den Koeffizienten der i-Zeile und j-Spalte der Produktmatrix zu berechnen, wobei mit „mal“ das Skalarprodukt zweier Vektoren gemeint ist, was hier die Vektoren wären, die man aus den Zeilen und Spalten der zu multiplizierenden Matrizen bilden kann – steht in jeder Formelsammlung …

Wenn du eine Matrix mit zwei Spalten und zwei Zeilen mit sich selbst multiplizierst – also die Matrix zum Exponent 2 berechnest bzw. das Quadrat der Matrix bildest – dann erhältst du über die Gleichung P² = A vier Gleichungen mit vier Unbekannten. Das ist ein wenig komplizierter als deine Aufgabe, denn da ist die Ergebnismatrix A symmetrisch. Von einer symmetrischen Matrix spricht man, wenn sich man Zeilen und Spalten vertauschen kann ohne, dass sich was ändert. In diesem Fall ist auch die Matrix P symmetrisch, was den Vorteil hat, dass du dann nur mehr zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten hast.
Ist P = (a b ) so ist P² = ( a²+b² 2ab)
...........(b a)..................( 2ab a²+b²)
Das liefert die beiden Gleichungen

a²+b² = 10
2ab = 6

Die zweite Gleichung kann man nach b auflösen

b = 3/a

Wenn man das in die erste Gleichung einsetzt, erhält man:

a² + (3/a)² = 10

was sich umformen lässt zu

(a²)²-10a²+9 = 0

Durch die Substitution

c = a²

erhält man die quadratische Gleichung

c²-10c+9=0

mit den Lösungen 9 und 1

Damit ergeben sich vier verschiedene Lösungen für a:

1, -1, 3, -3

Womit sich über b=3/a die folgenden vier verschiedenen Lösungen für die Aufgabe ergeben:

(3 1) (1 3) (-1 -3) (-3 -1)
(1 3) (3 1) (-3 -1) (-1 -3)

Answer 2

Allgemein kann man potenzierte Matrizen berechnen, indem man sie diagonalisiert, dies geschieht, indem man zunächst das characteristische Polynom berechnet:

det(P-cI)=det(3-c 1)=(3-c)^2-1
-------------------(1 3-c)

Die Nullstellen des Polynoms sind die Eigenwerte der Matrix, wir berechnen nun also die Nullstellen

9-6c+c^2-1=0
8-6c+c^2=0

c1/2=3+-sqrt(9-8)
c1/2=3+-sqrt(1)
c1=2
c2=4

Die Eigenwerte der Matrix sind 2 und 4. Die zugehörigen Eigenvektoren liegen im Eigenraum der Matrix:

(P-c*I)*v=0

(P-2*l)*v1=(1 1)*v1=0
---------------(1 1)

v=(1, -1)

(P-4*I)*v2=(-1 1)=v2=0
----------------(1 -1)

v2=(1,1)

Die Matrix T, die P in eine Diagonalmatrix transformiert ist dann

T=(-1 1)
----(1 1)

Es gilt

D=T^(-1)PT (Gleichung 1)

D ist eine diagonalmatrix, die man sehr einfach Potenzieren kann, da

D^n=(d1 0)^n=(d1^n 0)
-------(0 d2)-----(0 d2^n)

Wenn man nun die Andere Seite der Gleichung 1 potenziert erhält man

(T^(-1)PT)^n=T^(-1)PT*T^(-1)PT*T^(-1)...T*T^(-1)PT

Da T^(-1)*T=1 gilt

D^n=T^(-1)*P*P*...*P*T
-----=T^(-1)*P^n*T

bzw.

P^n=T*D^n*T^(-1)

Nun müssen wir nur noch T^(-1) berechnen, um D auszurechnen und somit P^n.

detT=-1-1=-2

T^(-1)=(1 -1)/2
---------(-1 -1)

d.h.

(1/2 -1/2)*(3 1)*(-1 1)=D
(-1/2 -1/2) (1 3) (1 1)

(1 -1)*(-1 1)=D
(-2 -2) (1 1)

D=(-2 0)
(0 -4)

Jetzt können wir zum beispiel P^2 berechnen, indem wir D^2 berechnen und zurücktransformieren:

D^2=(4 0)
(0 16)

P^2=(-1 1)*(4 0)*(1/2 -1/2)
-------(1 1) (0 16) (-1/2 -1/2)

P^2=(-4 16)*(1/2 -1/2)
-------(4 16) (-1/2 -1/2)

P^2=(-10 -6)
-------(-6 -10)

Hoffe ich hab mich jetzt nicht verrechnet. Klar weiss ich, dass die Rechnung für P^2 sich nicht lohnt, da hat die normale Matrixmultiplikation noch Vorteile, aber versucht mal P^10 mit der Matrixmultiplikation zu berechnen ;) Ausserdem kann man auf diesem Weg afaik auch die Wurzel der matrix berechnen, heisst:

sqrt(P)=T*sqrt(D)*T^(-1)

Hmm ... irgendwie hab ich da nen VZ-Fehler drin ... find den Fehler gerad nicht, aber der Weg sollte stimmen

Answer 3

Das ist nichts weiter als ein Matrixprodukt
P² = P * P bei der Berechnung wirst du aber wohl feststellen das die Matrix sich noch vereinfacht. habs selber nicht ausgerechnet.
als
cik = Σ (pij * pjk)
dabei sind pnm die koeffizienten von P
cnm die Koeffizienten der ergebnismatrix

Answer 4

Hier ein Beispiel für Matrizenmultiplikation:

(1 2) * (5 6) = (1*5 + 2*7 1*6+2*8)=(21 22)
(3 4) * (7 8) (3*5 + 4*7 3*6+4*8) (43 50)

Angewandt auf deine Aufgabe ergibt das nun

(3 1) * (3 1) = (3*3 + 1*1 3*1+1*3)=(10 6)
(1 3) (1 3) (1*3 + 3*1 1*1+3*3) (6 10)

Answer 5

[ a11 a12 ]...*...[ b11 b12 ]...=
[ a21 a22 ]... ...[ b21 b22 ]

[ a11*b11+a12*b21 a11*b12+a12*b22 ]
[ a21*b11+a22*b21 a21*b12+a22*b22 ]

Hoffentlich kann man das lesen...

Answer 6

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