Teoría de interpolación.?

Question

Tengo un problema de Análisis Numérico, como demuestro que dados dos polinomios:

P(x) = 5x^4 + 2x^2-1

y

Q(x) = 87 - 81(x+2) + 37(x+2)(x+1) -10(x+2)(x+1)x + 5(x+2)(x+1)x(+-1)

P y Q son idénticos, pero si sin hacer manipulaciones aritméticas. Solo usando Teoría de interpolación. Yo creo que eso se hace interpolando con polinomios de Lagrange, pero no sé como aplicarlo. Porfa, alguien que me ayude.

Perdón, donde se define Q(x), en el último término es (x-1), es que no me dí cuenta de ese error cuando posteé la pregunta.

Answer 1

Si te das cuenta, Q(X) está desarrollado en una serie del polinomio general de Lagrange. Para demostrar que son iguales P(X) y Q(X) lo que tienes que hacer es demostrar que el desarrollo en serie de P(X) es el mismo que Q(X), en otras palabras, resuelves por interpolación a P(X) y la serie debe ser la misma que Q(X).

De forma más general, puedes demostrar que dos polinomio p y q son idénticos si su desarrollo en serie es idéntico y si su forma es idéntica (la potencia es la misma, el número de elementos, etc.).

Puedes usar la serie de Taylor, aunque la labor será bastante ardua. Si tienes software como Mathematica, Maple o Mat LAB, la solución será bastante rápida, pero si no, pues sí te vas a llevar un par de horas.

Answer 2

No son iguales. El primero tiene grado cuatro y el segundo tres, como se ve inmediatamente sin hacer operaciones.