Como pruebo que la sucesión es decreciente?

Question

Sea an= 1/(1+1/n)^n * 1/(n+1). Necesito probar que la sucesión es decreciente.
Podría decir que como (1+1/n)^n y n+1 son funciones crecientes, entonces 1/(1+1/n)^n y 1/(n+1) son decrecientes, y que por ser multiplicación de decrecientes, entonces an es decreciente. Es cierto esto (la multiplicación de sucesiones decrecientes, es decreciente?). Hay alguna manera más clara de probar la monotonía de an?

Answer 1

Tu demostracion está casi correcta, solo te falto decir que por ser producto de dos funciones decrecientes, (IMPORTANTE:) QUE TOMAN VALORES REALES POSITIVOS!, y entonces SÍ estás en los correcto. Lo anterios es facil de probar y además es un resultado inmediato, o hasta en cierto sentido un caso particular, de la derivada del producto de funciones.

Ni siquiera puedes decir que la multiplicacion de funciones monotonas es siempre monotona. Ej.: x-1, x-2 son monotonas, no asi (x-1)(x-2) = x2 - 3x + 2.

Con calculo se hace una demostración mecánica, solo usando el hecho de que para toda funcion real f, f(x) es decreciente si y solo si su derivada f'(x) es no positivo para todo real x.

Answer 2

Dada la sucesión: an = 1/(1+1/n)^n * 1/(n+1), con n > 0 (acá está la cuestión)

Podemos considerar an = 1 / bn, siendo entonces:

bn = (1+1/n)^n * (n+1).

Si demostramos que bn es creciente, entonces an será decreciente, pues al crecer el denominador, la fracción decrecerá.
Recordemos que en una sucesión, n es siempre > 0 (ó >=0, como mucho).

Si consideramos que
........(n + 1)^n * (n + 1)
bn = -----------------------
.......................n^n

Vemos que, en realidad, arriba tenemos (n+1)^n * (n+1)^1 = (n+1)^(n+1):

........(n + 1)^(n + 1)
bn = -------------------
................n^n

Probando con diferentes valores en n, se comprueba que a medida que n crece, bn también crece. Se me ocurre la siguiente forma de demostrarlo:

se sabe que n^n es monótona creciente en todo su dominio, y por lo tanto, lógicamente, también lo es (n + 1)^(n + 1). Esto para demostrar que ambas son MONÓTONAS.
Como la superior es siempre mayor a la inferior con n>0, entonces, al ser monótonas y poseer la misma concavidad, la división también es monótona. Si bien creo que estas hipótesis (concavidad, monotonía, mayor) son válidas, no estoy totalmente seguro de si son suficientes.
Con un límite de n-->inf., vemos que diverge y que por ende, es creciente.

Otra forma de ver que es creciente es analizar los exponentes del numerador y del denominador y ver que el de arriba es siempre mayor al de abajo, lo cual es independiente totalmente de la base (n ó n+1).

Entonces:

bn es creciente ==> 1/bn = an es decreciente.

Y demostramos lo pedido.

Espero haberte ayudado, saludos! =)

(la multiplicación de decrecientes no siempre es decreciente, como te indicaron arriba... supongamos -n y -n^2... decrecientes, con n>0, sin embargo, su multiplicación es n^3, creciente. Por eso preferí enfocar el ejercicio uniendo todo lo más posible)