Forme quadratiche in R^2?

Question

Data la forma quadratica:
q: R^2 -->R
q(x,y)=
a.x^2+2b.x.y+c.y^2+d
La curva q(x,y)=0 può essere espressa ad una forma che si può facilmente identificare come: ellisse, iperbole, unione tra due rette intersecanti, unione tra due rette parallele, punto d'origine.
La matrice associata della trasformazione q(x,y) è:
(a b)
(b c)=:M
Si nota chiaramente che q(x,y)= (x,y).M.(x,y)^t
Gli autovalori di M, che permettono di diagonalizzare M rispetto ad una base formata dai suoi autovettori, sono i "nuovi" coefficenti della forma quadratica rispetto alla nuova base (e si può dimostrare che il nuovo sistema di riferimento è una rotazione rispetto alla base vecchia). In parole povere q(x,y) è esprimibile in una nuova base nel seguente modo:
q'(x,y)=a'.x^2+b'y^2+d
da cui si può facilmente ricavare il tipo di conica.
Domanda:
La curva q(x,y)=x^2-4xy+y^2+2=0 è un'ellisse, un'iperbole o un altra forma quadratica? Come si esprime q'(x,y)=0? Di quanto viene ruotato il sistema di riferimento vecchio?

L'ho inventata sul momento :D ...
Se avete bisogno chiarimenti, chiedete pure...

Scusate, riguardando mi sono accorto che ho sbagliato una cosa:
q(x,y)= (x y).M.(x y)^t senza la virgola...

Bravo gabriele...ma non ci credo...non è possibile che sei l'unico che sa queste cose qui su answers...

Per la cronaca: a' e b' sono gli autovalori della matrice M. Se si ci si sposta nella base di autovettori, la matrice M viene diagonalizzata e nella diagonale ci sono i suoi autovalori.
M' diventa perciò:
(a' 0)
(0 b')
da cui il calcolo:
q'(x,y)=
(x y).M'.(x y)^t+d=
a'x^2+b'y^2+d
Spero di esser stato più chiaro...

Answer 1

i due autovettori sono ( 1 , 1 ) ( 1 , -1) (diagonalizzare una forma quadratica equivale a diagonalizzare la forma bilineare simmetrica associata) li normalizzo (li metto in colonna ed ho una matrice ortogonale) e ottengo:

q'(x,y)=-x^2+3y^2+2 il sistema viene girato di 45° antiorari (ma non sono sicuro) è un iperbole.

forme quadratiche e forme bilineari io le conosco perchè le ho studiate all'università. magari sono argomenti poco diffusi :)