Si módulo(x-3) < 1/3, se puede afirmar que (módulo(x-3))^5 < (1/3)^5
Intenté probando con algunos valores y la desigualdad vale...
Y que pasaría en el caso de que se eleven ambos miembros al cuadrado???
2007-02-15 11:16:22 · 6 respuestas · pregunta de M Florencia 2 en Ciencias y matemáticas ➔ Matemáticas
|x-3| < 1/3 ==> |x-3|^5 < (1/3)^5
Como en todo P => Q, tomamos al primer término (hipótesis) como V y ponemos en tela de juicio el segundo (tesis).
Con solo encontrar un caso que lo contradiga, la afirmación es falsa. En caso contrario, debemos buscar una justificación lógica para todos los valores de x.
Veamos que valores de X satisfacen P:
|x-3| < 1/3
-1/3 < x-3 < 1/3
3 - 1/3 < x < 3 + 1/3
8/3 < x < 10/3
x e ( 8/3; 10/3 )
Ahora debemos asegurarnos que si X perteneces ahí, la proposición Q es cierta.
De hecho:
|x-3|^5 < |1/3|^5
podemos pasar ^5 como raíz de 5 sin problemas:
|x-3| < raiz5((1/3)^5)
|x-3| < 1/3, lo cual demuestra que para todo x, el P==>Q es cierto ( o sea, si cumple P, cumplirá Q ). Por lo tanto, será cierto para x e ( 8/3; 10/3 ).
Ahora, hay una diferencia elevando al cuadrado:
|x-3| < 1/3 ==> |x-3|^2 < (1/3)^2
|x-3|^2 < (1/3)^2
Como sabemos, |x-3| < 1/3 sólo se cumple para ciertos valores positivos ( 8/3; 10/3 ). También sabemos que la función cuadrática es creciente para x>=0. Entonces, por definición de función creciente,
si a < b, entonces f(a) < f(b)
(es decir, la imagen también será mayor si un número es mayor a otro).
Y esto es exactamente lo que sucede si tomamos: a=|x-3|, b=1/3, f(x)=x^2. Esta demostración vale también para el caso elevado a la 5, pues f(x)=x^5 también es creciente.
No dudes en preguntar otras cosas... saludos!
2007-02-19 09:31:11 · answer #1 · answered by pablo_cg86 3 · 0⤊ 0⤋
Sí se puede afirmar, porque todas las cantidades involucradas son positivas (el módulo siempre es positivo, y por supuesto que 1/3 es positivo). Con el cuadrado también vale por la misma razón.
Si alguna cantidad fuera negativa, valdría solamente con potencias impares; si fueran potencias pares habría que mirar caso por caso.
2007-02-15 19:25:38 · answer #2 · answered by fibonacci_prower 2 · 0⤊ 0⤋
si el exponente al q elevas todo es impar, la desigualdad se mantiene, pero si es par cambia de signo
2007-02-15 19:21:32 · answer #3 · answered by bechuleo 2 · 0⤊ 0⤋
Pensé que se trataba de desigualdades "de la vida"...
2007-02-18 18:54:19 · answer #4 · answered by floresraras 1 · 0⤊ 1⤋
para las desigualdades se aplican todas las mismas reglas que para las ecuaciones............ todas, incluyendo la de los signos que comentan arriba, si multiplicas por dos, se mantiene, si divides, se mantiene, solo recuerda que lo debes hacer de ambos lados de la desigualdad....... suerte
2007-02-15 19:25:15 · answer #5 · answered by lobo acechante 2 · 0⤊ 2⤋
ESTE... ME PUEDE REPETIR LA PREGUNTA?
2007-02-15 19:23:39 · answer #6 · answered by Nowhere Man 5 · 0⤊ 2⤋