démonstration?

Question

Toure representation graphique d'une foction affine coupe au moins une fois la courbe représentative de la fonction cube.
comment prouver ca ?
( avec de conaissance de treminale S, svp)

Answer 1

Fastoche !

1) Une fonction affine, c'est une façon déguisée de dire "une droite".

2) La fonction cube (je suppose que tu veux dire f(x) = x^3 ), tout comme tous les polynômes, est continue. Et comme tout polynôme de degré impair, on a :
f(x) = a * x^3 + ...

Si a > 0 : en - l'infini : f(x) tend vers - l'infini
Et en + l'infini : f(x) tend vers + l'infini.

On a le contraire avec a < 0.

On a donc une fonction continue qui passe de - l'infini à + l'infini (ou le contraire).
Donc forcément, on coupe une fois (au moins) n'importe quelle droite.


C'est pour la même raison que tout polynôme de degré impair possède au moins une solution réelle, puisqu'il coupe forcément une fois (au moins) l'axe des x.


Ajout : @pedrocarras : tu écris :

"Soit le fonction f définie sur R telle que f(x)=x^3-ax-b

Alors la fonction f est une fonction de degré 3 et est donc une bijection de R sur R à savoir que chaque réel par f n'a qu'une seule et unique image et que chaque image de f n'a qu'un seul et unique antécédent."

Ceci est faux, un polynôme (de degré 3 ou pas), dans le cas général, n'est PAS une bijection de R dans R.

Ceci dit, faire une étude de la fonction f(x) que tu introduis est une méthode plus propre que la mienne, je le reconnais.

Answer 2

Une fonction affine ?

Answer 3

Soit f(X)=X³-AX-B est une fonction du 3ème de degré donc continue
L'image de (R) est R.

Par contre ce n'est pas forcément une bijection
Par exemple f(x)=x³-x
f(0)=f(1)=f(-1)=0

Answer 4

Je ne sais plus ce que c'est qu'une fonction affine... c'est lineaire ? si oui c'est juste une question de limite a l'infini.

Answer 5

La fonction cube est la fonction qui à x associe x^3.

Soient a et b deux réels quelconques. La fonction affine est la fonction qui à x associe ax+b.

Soit le fonction f définie sur R telle que f(x)=x^3-ax-b

Alors la fonction f est une fonction de degré 3 et est donc une bijection de R sur R à savoir que chaque réel par f n'a qu'une seule et unique image et que chaque image de f n'a qu'un seul et unique antécédent.

Or, on a : f(x)=x^3-ax-b=x(x²-a)-b

On sait que x tend vers moins l'infini quand x tend vers moins l'infini, que x² tend vers plus l'infini quand x tend vers moins l'infini donc f tend vers moins l'infini quand x tend vers moins l'infini.

De plus, x tend vers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini, x² tends vers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini, donc f tend vers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini.

Or, 0 appartient à l'intervalle moins l'infini, plus l'infini donc o a un antécédent x1 par f à savoir qu'il existe un x1 tel que f(x1)=0.

Donc il existe un x1 tel que x1^3=ax1+b et donc la représentation graphique de toute fonction affine rencontre au moins une fois la représentation graphique de la fonction cube.