Nombre d'or - Qui peu me démonter ce qui suit:?

Question

U0=[1+racine(5)]/2 ; soit U0=nombre d'or Phi
Un=Un-1/U0

Démontrer que la somme des Ui, i allant de 0 à n, quand n tend vers l'infini tend vers (U0)³

Answer 1

pour continuer la démo, tu as :

somme de 0 à n des Ui = U0 + 1 + (1/U0) + (1/U0)^2 + ... + (1/U0)^n

il s'agit donc d'une somme de U0 et de termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1/U0

d'où :
somme de 0 à n des Ui = U0 + 1 * (1 - (1/U0)^n ) / (1 - (1/U0) )

avec n tendant vers l'infini, ça donne :
U0 + 1 / (1 - 1/U0) ou encore (U0)^2 / (U0 - 1)

or le nombre d'or, U0, vérifie l'équation :
(U0)^2 - U0 - 1 = 0
ou encore : U0 * (U0 - 1) = 1
donc U0 = 1 / (U0 - 1)

d'où : (U0)^2 / (U0 - 1) = (U0)^2 * U0 = (U0)^3

voili voilou

Answer 2

U1 = 1
U2 = 1/U0
U3 = 1/(U0^2)
.....
Un = 1/(U0^(n-1))

Ui continue sur ]0;+inf[
donc lim de la somme = somme des limites

dém non finie
A toi de finir ...
La jai pa ltemps jdoi mcasser

Answer 3

C'est une suite géométrique de raison 1/u0.