Thema: Geometrie und Planimetrie?

Question

1.
gegeben ist ein Kreis mit Radius=5cm. Ferner misst eine Sehne 8cm,eine zweite Sehne 6cm.
berechnen den Abstand der beiden Sehnen!

2.
Eine Kugel mit einem Durchmesser von einem Meter rollt auf ein rundes, tiefes Loch zu, dessen Durchmesser allerdings nur 70cm ist.
Wie tief wird die Kugel absacken?

3.
In einem rechtwinkligen Dreieck misst die Hypotenuse 5cm, die eine Kathete 3cm.
Berechne den Inkreis-Radius?

kann mir jemand helfen?
Lg

Answer 1

Hallo!

1. Aufgabe

Ich gehe davon aus, dass Dir folgende Gleichung vertraut ist:

x^2 + y^2 = R^2

Das ist die Gleichung eines Kreises mit Radius R und Mittelpunkt im Ursprung des x-y-Koordinatensystems

Wir legen die Sehnen waagerecht. Die längere Sehne möge den Kreis im 1. Quadranten im Punkt P schneiden. Dessen Koordinaten sind also P(xp/yp).
Es gibt zwei Lagen für die kürzere Sehne, oberhalb und unterhalb der Linie y = 0 (x-Achse) .
Diese Sehne möge den Kreis im 1. Quadranten im Punkt Q(xq/yq) und im 2. Quadranten im Punkt V(xv/yv) schneiden. Offensichtlich gilt aus Symmetriegründen:

xq = xv und

yq = -yv

Die Abstände d1 und d2 der kürzeren Sehnen von der längeren sind

d1 = yq - yp und

d2 = yq + yp

Wir müssen jetzt also yp und yq berechnen. Dazu formen wir die Kreisgleichung nach y um.

y =+/- Quadratwurzel(R^2 - x^2) Darin ist x die halbe Sehnenlänge.

Wir erhalten yp = +/-Quadratwurzel(5^2 - 4^2) = +/-3 und

yq = +/-Quadratwurzel(5^2 - 3^2) = +/- 4


Damit wird d1 = 4 - 3 = 1 und

d2 = 4 + 3 = 7

An sich gibt es 4 Lösungen. Da wir aber die längere Sehne oberhalb der x-Achse positioniert haben, gibt es nur zwei. Die andere Position ist spiegelsymmetrisch zur x-Achse.

2. Aufgabe

Der Querschnitt einer Kugel ist ein Kreis. Der Radius der Kugel ist gleich dem Radius des Kreises. Wir fragen deshalb:

Welchen Abstand hat eine Sehne mit einer Länge von 35 cm (halber Lochdurchmesser) von der paralellen Sehne durch den Mittelpunkt des Kreises? Wenn wir diesen Abstand d vom Radius R der Kugel abziehen dann erhalten wir die Einsinktiefe t

Es gilt also :

t = R - d = R - Quadratwurzel(R^2 - r^2) ; r ist der Lochradius

Einsetzen der Werte R 0 o,5 m und r = 0,35 m ergibt t = 14,3 cm

3. Aufgabe

Die andere Kathede ist nach Pythagoras 4 cm.

Mit Hilfe der HERONschen Formel lässt sich der Radius des Inkreises berechnen. Es gilt

r = Radius des Inkreises

= Quadratwurzel((s - a)*(s - b)*(s - c)/s)

Darin ist s =1/2*( a + b +c) mit a , b und c als den 3 Seiten des Dreieckes.

Man erhält für s = 6 cm und für r = 1 cm.





und

Dann gilt:

also

Für den Inkreisradius gilt dann

also