Comment se fait-il que l'aléatoire est gaussien ?

Answer 1

Ce serait bien.. si c'était vrai..
Mais la loi gaussienne n'est qu'une loi particulière..
Sa place centrale vient de la "loi des grands nombres" pour laquelle la somme de variables aléatoires équidistribuées tend asymptotiquement vers une variable Gaussienne..
Mais c'est quand même une abstraction..
Dans la réalité, rien n'est jamais Gaussien puisqu'on ne peut pas "répéter une expérience dans des conditions identiques", ce qui est la base de l'axiomatique statistique.
La loi Gaussienne n'est donc qu'un outil mathématique commode qui joue le même rôle que les sinusoides en Analyse de Fourier, les ondes planes en Théorie des ondes, les impulsions de Dirac en théorie du signal ou les filtres à bande limitée en électronique numérique.

Answer 2

Sur "LA PLACE " ont dit qu'il y a toujours des exceptions ....

Ce n'est pas un Poisson ! ( loi).

Answer 3

la valeur moyenne de l'aléatoire est soumise à des lois précises.

Answer 4

C'est effecivement dû à la loi des grands nombres qui veut que la somme de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées (on note "iid") tende asymptotiquement vers la loi normale (ou loi de Gauss).
Mais attention il s'agit d'un phénomène asymptotique, limite. Par exemple, tu peux prouver que la distribution des tailles dans une population se rapproche de la loi de gauss.
En fait, il s'agit d'une approximation, car la loi de gauss te dit que tu as une probabilité non nulle d'avoir des tailles négatives : ce qui est absurde évidemment. C'est pourquoi il est important de préciser que c'est un comportement limite, une approximation.
De plus la "loi des grands nombres" n'est valable que dans le cadre d'une variance finie. Lorsque l'on étudie des lois à queues épaisses, la "loi des grands nombres" ne s'applique plus => on converge vers des lois dites alpha-stables (de Lévy), etc...

Donc sans même remettre en cause les fondements de la statistique (à savoir l'étude de phénomènes reproductibles indépendants, etc...) comme le fait Champoleon, on peut déjà voir les limites de la loi normale.

Answer 5

Si on considère qu'une partie est constituée par n tirages au lieu d'un seul, le total des gains est une réalisation d'une variable binomiale qui peut prendre toutes les valeurs entières de 0 à n. Cette variable a pour moyenne le produit np. On obtient un exemple moins futile en considérant le score d'un candidat dans un sondage électoral.

Si n est assez grand et p pas trop petit, on peut trouver une approximation convenable en utilisant la variable de Gauss. Dans les sondages cela permet d'associer un intervalle de confiance au résultat brut. Ainsi, il y a 95 chances sur 100 pour qu'une enquête portant sur 1000 personnes donne un résultat correct à ± 3 % près.

Toujours avec n grand, l'approximation de Poisson est préférable si p est assez petit pour que la moyenne np ne soit pas trop grande, de l'ordre de quelques unités. Dans un sondage ce serait la loi applicable aux « petits » candidats. C'est surtout la loi utilisée dans des problèmes de files d'attente.

La somme des carrés de ν variables de Gauss indépendantes est une variable de χ2 à ν degrés de liberté (la variable exponentielle en est un cas particulier). Le test du χ2 est utilisé pour apprécier la valeur de l'adéquation d'une loi de probabilité sur une distribution empirique.

Si on divise une variable de Gauss par une variable de χ (racine carrée de la précédente), on obtient une variable de Student. Le rapport de deux variables de χ2 indépendantes définit une variable de Snedecor. Ces deux lois sont utilisées dans l'analyse de populations supposées gaussiennes.

Answer 6

C'est normal, c'est la loi normale !