problemi col differenziale?

Question

allora: data una funzione f(x) derivabile in un punto x=c, sii chiama differenziale dy il prodotto della derivata di f(x) in x=c per l'incremento della variabile indipendente: non ha importanza se la funzione f(x) in questo incremento è derivabile o meno? non importa l'entità dell'incremento?...se si considera la funzione identica y=x si ha dy=dx e quindi dx=incremento di x: questo è valido anche per tutte le altre funzioni? se si perchè? se no perchè? perchè nella funzione identica y=x si ha dx=dy? come si definisce dx?

Answer 1

non è proprio cosi.
delta y si approssima, per delta x molto piccolo, con
f'(x) delta x
Ma per delta x che tende a 0 si ha esattamente:
dy = f'(x)dx
Affinche' questo limite possa esistere è chiaro che f deve essere derivabile nella x=c considerata, altrimenti non potremmo scrivere f'(c).
Poi non ha senso dire "se la funzione f(x) in questo incremento è derivabile "
La f deve essere derivabile (in questo caso) in c, o in un intorno piccolo a piacere di c.
Ancora: se y=x allora f'(x)=1 quindy dy=dx
Questo lo devi intendere come:
"A infinitesimi incrementi di x corrispondono infinitesimi e identici cambiamenti di dy"
Se l'incremento di x non è infinitesimo ma finito, allora non si chiama più dx ma delta x e il dy diviene delta y
A quel punto delta y non è UGUALE a f'(x) (delta x), ma è solo APPROSSIMATO con tale valore. Solo al limite per delta x che tende a 0 vale l'uguaglianza.
infatti f'(x) = limite (delta x che tende a 0) di (f(x + (deltax))-f(x)) / (delta x)
Continuo a rispondere alle tue domande..
Non è uguale per tutte le funzioni, dipende dalla loro derivata prima nell'intorno di c. Se quella è sempre uguale a 1 in un intorno di c questo sarà vero.
dx è il limite del delta x per delta x che tende a 0
Ossia rappresenta un incremento infinitesimo della variabile indipendente

Answer 2

Matematicamente impossibile!
XK e' L a L Kile ra NON 100 E'!