¿como se calcula la aceleracion de una cuerda de masa m apoyada en una polea?

Question

si tienes una cuerda de masa m y longitud l apoyada sobre una polea, no hay deslizamiento entre ambas, sabes que la diferencia de alturas entre los cabos de la cuerda es ysub0 (hay más cuerda colgando por el lado derecho que del izquierdo), y que ambos cabos siempre están por debajo del eje de simetría horizontal del disco (polea), ¿qué haces para calcular la velocidad angular del disco en función de la diferencia de alturas entre los cabos? lógicamente la aceleración no es constante, ya que depende del torque total que va aumentando según se va desplazando la cuerda hacia la derecha. el sistema se libera del reposo.
alguna idea? gracias

Answer 1

Yo lo enfocaría por energías. La de la polea girando es w^2 * pi* sigma* R^4 / 4, donde w es la velocidad angular, sigma la densidad superficial de la polea, R su radio y pi el número pi.
Demostración Integrando la energía cinética de todas las partes de la polea: Integral [desde 0 a R] (1/2 * 2 * pi*r*dr*sigma*w^2*r^2.

La variación de la energía potencial de la cuerda al pasar de la posición inicial de la rama de la derecha desde y_0 hasta y_0 +x es igual a (x*lambda)*g / 2, con lambda = densidad lineal de la cuerda y g aceleración gravedad.
Así se obtiene la relación entre el descenso x de la cuerda desde la posición inicial (en la que se supone que la polea parte del reposo) y la velocidad angular de la polea, que resulta ser

w^2*pi*sigma*R^4/4 = lambda*x*g/2

A partir de esta ecuación, como tenemos R dw = dx/dt, podemos encontrar la ecuación diferencial que nos dará x en función de t. A partir de ahí, velocidad y aceleración (dx/dt y d^2x/dt^2). .

La ecuación diferencial para x sería (v= dx/dt)

v = (1/R) raizcuadrada de
(2*lambda*g*x/(pi*sigma))

que habría que resolver para tener x en función de t, y a partir de ahí la aceleración lineal de la cuerda y la angular de la polea.

El problema es precioso, pero se las trae. No sé si habrá algún camino más corto. Quizás empleando la lagrangiana, que a veces hace milagros.

Answer 2

calculando mediante una sumatoria de torques, y los momentos de inercia de cada uno de los elementos (polea y cuerda); asi usarás la diferencia de altura entre ambos. Recuerde que la sumatoria de torques es igual al momento de inercia por su aceleración angular!!!!!!!!!!!!!!

Answer 3

Intentaré mostrar aquí como se resuelve, aunque en este formato puede quedar un poco difícil de entender.

El par de fuerzas (torque) que acelera el sistema es
R*g*y*m/l
El par ficticio (o inercial) para acelerar la inercia de la polea es
Io*α
El par ficticio (o inercial) para acelerar la masa de la cuerda es
m*a*R

La ecuación de equilibrio sería
Io*α+m*a*R= R*g*y*m/l
Pero la aceleración angular es
α=a/R

La aceleración lineal será
a*(Io/R+m*R)= R*g*y*m/l
a= R*g*y*m/ [l * (Io/R+m*R)]

Ahora tenemos que utilizar las operaciones diferenciales
a=v*dv/dy = R*g*y*m/ [l * (Io/R+m*R)]
v*dv = [ R*g*y*m/ [l * (Io/R+m*R)] ] dy
v*dv = R*g*m/ [l * (Io/R+m*R)] * (y*dy)

Integrando obtenemos
(v^2 –vsub0 ^2 )/2 = R*g*m/ [l * (Io/R+m*R)]* (y^2 - ysub0^2)/2

Despejando v, y teniendo en cuenta que vsub0=0
v = [R*g*m/ [l * (Io/R+m*R)]* (y^2 - ysub0^2) ]^(1/2)

La velocidad angular será ω=v/R
ω = [R*g*m/ [l * (Io/R+m*R)]* (y^2 - ysub0^2) ]^(1/2) /R
ω =[g*m/ [l*R * (Io/R+m*R)]* (y^2 - ysub0^2) ]^(1/2)
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Si se desprecia la inercia de la polea Io=0
ω =[g*m / [l*R * (m*R)]* (y^2 - ysub0^2) ]^(1/2)
ω =[g / (l * R^2) * (y^2 - ysub0^2) ]^(1/2)

ω ya no depende de m, pero sí de la relación l/ysub0
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Leyenda de símbolos:
Io: Inercia de giro de la polea y del tramo circular de cuerda (superior al eje de simetría horizontal de la polea) respecto al eje de giro la polea.
R: Radio de la polea
m: masa de la cuerda
l: longitud de la cuerda
y: diferencia de alturas entre los extremos de la cuerda
ysub0: diferencia inicial de alturas entre los extremos de la cuerda
v: velocidad lineal de la cuerda
a: aceleración lineal de la cuerda
ω: velocidad angular de la polea
α: aceleración angular de la polea
t: tiempo
g: aceleración de la gravedad

Notas:
-Se han despreciado pérdidas de energía por rozamiento.
-La inercia del tramo circular de cuerda (superior al eje de simetría horizontal de la polea) respecto al eje de giro la polea es
[(π*R*m/l)*(π*R)^2]/2 = [m/l * (π*R)^3]/2

Un saludo.

Answer 4

La respuesta de calculo por energía es muy interesante pero no es la forma correcta.

Sencillamente se puede reemplazar el problema por un cuerpo en movimiento que reduce su masa mientras que otro la aumenta.

Se aplica la ecuación de fuerza a ambos extremos dejando la masa dependiente del tiempo, lo que hace que la aceleración no sea constante, sino que es una función pues a medida que aumenta la mada a un lado aumenta la aceleración que solo puede llegar hasta 9,8m/s2 que es g.