probar que para todo polinomio p(x)= x^2 + 1 es irreducible en los resles?

Answer 1

Supongamos que no es irreducible, entonces deberían exixtir 2 polinomios de grado 1 que multiplicados den como resultado x^2 + 1

x^2 + 1 = (x+a) (x +b) = x^2 + (a+b) x + a.b

Por lo tanto
a + b = 0
a*b = 1

b = -a

a*(-a) = 1

-a^2 = 1

a^2 = -1

Es sabido que no existe ningún número real que elevado al cuadrado sea igual a (-1)
Esto provino de suponer que el polinomio era reducible. Por lo tanto es irreducible

Answer 2

Si hacés x^2+1=0 y despejás tenés
x^2=-1, o sea x = (-1)^(1/2) lo cual no es posible en el campo real

Answer 3

Supones que es reducible

x^2 + 1 = (x + a)(x + b)
(x + a)(x -b) = x^2 + ax + bx + ab
(x + a)(x -b) = x^2 + (a + b)x + ab
Igualas los dos polinomios
x^2 + 1 = x^2 + (a + b)x + ab
Entonces


x^2 = x^2
0 = (a + b)
1 = ab

Te quedas con dos ecuaciones

a + b = 0
ab = 1
DEspejas a = - b y sustituyes

-b(b) = 1
b ^2 = -1
Como no tiene solución en los reales, llegas la conclusión que no es reducible. En otras palabras que la función no tiene raíces en lso reales