Il problema di Monty Hall si può applicare al gioco dei pacchi di AffariTuoi???

Question

Dato il problema di Monty Hall http://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Monty_Hall

Prendiamo in esame il gioco dei pacchi di affari tuoi.
Se dopo avere scelto a caso 18 pacchi su 20 arrivo alla fine con 2 pacchi (il mio scelto inizialmente + il pacco rimanente dopo le scelte casuali) e so che rimangono due vincite: 0 oppure €.500.000, mi conviene cambiare o tenere il pacco?
Praticamente vale anche in questo caso il problema di Monty Hall?

Per chi volesse "sperimentare" il Problema di Monty Hall può venire a trovarmi qui:
http://www.made4.it/monty_hall/play.php
Potete giocare oppure effettuare una simulazione statistica su N casi. Effettivamente i risultati empirici si avvicinano a quelli statistici.

Answer 1

Il problema di Monty Hall (sono andato a leggermelo, è proprio carino!...) è una situazione semplice, ma la questione è formulata in maniera tale da trarre in inganno.
Nell'esempio delle tre porte, una volta che viene svelata una capra (evento "certo", col 100% delle possibilità, perché il presentatore conosce la disposizione dei premi), le altre due porte assumono CIASCUNA il 50% delle possibilità di celare il premio migliore... pertanto non è più un vantaggio decidere di cambiare porta, in quanto eliminata una capra "sicura", decade il rapporto svantaggioso delle probabilità (1/3 : 2/3) della scelta iniziale: ora ciascuna porta offre le medesime opportunità di vincita.
Analogamente, una volta eliminati i 18 pacchi come da tua premessa, il problema non li riguarda più: ora la scelta è limitata a soli 2 pacchi, ciascuno con il 50% delle possibilità di vincere; "bianco o nero"; "in o out"...
Pertanto, non esiste alcun metodo razionale per decidere se tenere o cambiare il pacco, come non esiste neppure per scegliere la porta.

Spero di essere stato utile e chiaro a sufficienza nell'esposizione.

Answer 2

La risposta è nella stessa pagina!!
Riporto:
<<
Esiste una generalizzazione del problema originale in cui si hanno n porte: nel primo stadio del gioco, il giocatore sceglie una porta. Quindi il conduttore apre un'altra porta, che nasconde una capra. Se il giocatore vuole, può quindi cambiare scelta e passare a un'altra porta. Il conduttore aprirà allora un'ulteriore porta, ancora non aperta, che nasconde una capra, diversa da quella attualmente scelta dal giocatore. Il giocatore ha quindi la possibilità di cambiare ancora scelta, e così via. Questo procedimanto continua fino a che non restano che due porte non ancora aperte: la scelta corrente del giocatore, e un'altra porta. Quante volte dovrebbe cambiare scelta il giocatore, e a che punto del gioco (sempre che cambi almeno una volta)?

La migliore strategia è: restare con la prima scelta sino a che non rimangono solo due porte e a quel punto cambiare. Seguendo questa strategia la probabilità di vincere è (n − 1) / n.
>>
Quindi alla fine, cambiando, si hanno 19 possilità su 20 di vincita!!

La dimostrazione scientifica è la seguente:
Consideriamo prima il caso con 3 pacchi
P(vincere cambiando)=
P(vincere cambiando indovinando il primo)+
P(vincere cambiando sbagliando il primo)=
P(vincere cambiando| primo indovinato)* P(indovinare il primo)+
P(vincere cambiando| primo non indovinato)*(1-P(indovinare il primo))=
0*1/3 + 1*2/3 =
2/3
Che è la soluzione del problema standard. Si noti che NON E' 1/2, ma 2/3!!!

Vediamo ora il caso generale:
Supponiamo di non cambiare mai fino all'ultimo pacco e poi cambiare l'ultimo pacco. Quindi a quel punto rimangono solo due pacchi: uno che avevo dall'inizio e l'altro.
Nota: lasciamo perdere COME siamo arrivati a quel punto, concentriamoci sul fatto che ci siamo arrivati, e poiché siamo li è la stessa cosa che se il presentatore avesse scelto LUI i pacchi errati... non fa differenza!!
P(vincere cambiando )= (...come prima!!)
P(vincere cambiando avendo indovinato il primo)+
P(vincere cambiando non indovinando il primo) =
P(vincere cambiando| primo indovinato)* P(indovinare il primo)+
P(vincere cambiando| primo non indovinato)*(1-P(indovinare il primo))=
0*P(indovinare il primo) + 1*(1-P(indovinare il primo)) =
0*1/20 + 1 * (1-1/20) =
19/20
Ossia in generale = (n-1)/n come già anticipato.

Quindi per me l'amico che ha scritto qui sotto si sbaglia
1) Lo può anche leggere dalla pagina in questione, c'è scritto!!
2) Io ho fornito la dimostrazione

Answer 3

C è una differenza sostanziale tra il problema "Monti hall" e il problema "Pacchi". il primo infatti ipotizza che il conduttore dia la possibilità di cambiare porta, dopo aver aperto la prima (in realtà nel programma Tv cui ci si riferisce, al concorrente non veniva data tale opportunità) ed è quindi solo in quel caso che la probabilità di trovare l automobile, dopo aver trovato una capra sale a 2/3 anziché l intuitivo 1/3 cambiando la porta scelta in origine. (ciò dovuto al fatto che il conduttore dovrebbe necessariamente aprire una porta con la capra). In Affari tuoi il banco (la dottoressa) conosce il contenuto dei pacchi, ma non è costretto ad aprirne alcuno, per cui la percentuale d incertezza o la probabiltà di acquisire un pacco con più valore di un altro rimane la medesima, sia che cambiamo, sia che rimaniamo con lo stesso pacco, a meno che non decidiamo di cambiare sempre e di aprire immediatamente il pacco cambiato, In questo caso potremmo provare ad interpretare l algoritmo (perché di ciò si tratta) alla base della strategia del banco.