Que significa que una función sea derivable en el "abierto" (a,b)????

Question

Para cumplir con el teorema de CAUCHY y luego con el de LAGRANGE una de las condiciones NECESARIAS es que sea derivable en el abierto.... mi pregunta es como en realidad se demuestra esa derivabilidad en el abierto???

Answer 1

Ya lo comentaron arriba, se debe demostrar que la función es contínua en el intervalo abierto (a,b).

Demostrar esto es aplicar la definición de continuidad de que una función es continua en todos los puntos del intervalo, lo cual se expresa diciendo que para un punto cualquiera x=c, existen los límites bilaterales hacia ese valor de la función, es decir, lim(x->+c) f(x) y lim(x->-c)f(x) existen.

Lo de "abierto" implica que no se incluyen los extremos del intervalo a,b en el dominio de la función, es decir , si x representa la variable independiente, entonces abierto significa que x es diferente de a y de b. Respecto a la continuidad, es suficiente que existan los límites cuando x->a y x->b sin ser necesariamente x=a y x=b

Answer 2

El Teorema de Cauchy indica, más bien, que una región tiene función de dominio simple conexo cuando su derivada es continua en todo ese dominio; es decir, que existe para todos los puntos de ese dominio.

Además, el contorno debe ser cerrado (se incluyen los extremos del dominio).

Puedes consultar más en la siguiente página:
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_integral_de_Cauchy
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Lagrange

Answer 3

Dada la función f(x), para cada punto en el intervalo (a,b) existe f'(x). Lo que hay que probar es que la función f'(x) es continua en el intervalo (a,b).

Que sea abierto implica que los puntos a y b no están incluídos en el dominio.

Por ejemplo la función f(x)=ln(x) en el intervalo (0,1) es diferenciable?

f'(x) =1/(1-x)
ésta función está definida en cualquier punto de los reales, excepto en el punto 1, sin embargo por ser abierto el intervalo la función es diferenciable en ese intervalo pues no está en el dominio.

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