Pregunta para los "Genios"?

Question

Hallen la repuesta de esta simple suma al infinito:

E=1/3+2/3²+3/3³+... ∞

Doyn 10 puntos al que escriba la solucion con la respuesta.

El problema solo se desarrolla en 4 pasos!!!

Todo es cuestion de usar nuestro ingenio al maximo!!!..

Answer 1

Yo uso Excel, y encuentro que E = 3/4

Answer 2

La suma de la serie es 3/4. Se llega:
Sea x=1/3, y S = símbolo de sumatoria, INF = infinito

Sumatoria de 0 a INF de x a la n = 1/1-x , por ser serie geométrica y |x| <1

Mediante Serie de potencias sabemos que derivando ambos mienbros llegamos a (1/1-x)' = S de 1 a INF de n*[(x)^( n-1)], luego multiplicando ambos miembros por x queda
x/(1-x)^2 = S n*(x^n), luego reemplazamos y listo.

Answer 3

Si observas es la sumatoria de n+1 entre 3 elevado a n+1.

Tendrías una serie, luego aplicas limite cuando n tiende a infinito.

Suerte.

Answer 4

Está muy fácil la respuesta y el método, pero el problema es muy largo, así que trataré de sintetizarlo.

Antes de iniciar el problema voy a darte una breve introducción a las series geométricas:

Supongamos que tenemos un número V cuyo valor absoluto |V| es menor o igual que 1 (utilizo este caso porque usamos potencias de 1/3)

Entonces tenemos que:

∑V^k cuando k va de m a ∞
Lo reescribiré así por convención y ahorrar un poco de espacio:

[∑V^k], k=m,∞

Es igual a el Lím [ V^m - V^(n+1)]/[1-V], n=∞

Y esto es (V^m)/(1-V) porque V^(n+1) es igual a cero cuando n tiende a infinito.

Ahora:

Deseas obtener el valor de E, tal que

E=1/3+2/3²+3/3³+... ∞

Primero ordena los valores de la siguiente manera:

1/3+1/3²+1/3³+1/3^4+... ∞
+1/3²+1/3³+1/3^4+... ∞
+1/3³+1/3^4+... ∞
+1/3^4+... ∞
........

Como podrás observar los ordené de una manera escalonada, y si sumas los valores de forma vertical obtienes la ecuación planteada al principio.

Ahora resuelves renglón por renglón y tienes que:

[∑(1/3)^k], k = 1,∞
+[∑(1/3)^k], k = 2,∞
+[∑(1/3)^k], k = 3,∞
+[∑(1/3)^k], k = 4,∞
+[∑(1/3)^k], k = 5,∞
................


Y si resolvemos cada renglón por la fómula que te di al principio tienes que:

(1/3)^1 / (1-1/3)
+(1/3)^2 / (1-1/3)
+(1/3)^3 / (1-1/3)
+(1/3)^4 / (1-1/3)
+(1/3)^5 / (1-1/3)
.........


Simplificando Denominadores tenemos que:

(1/3)^1 / (2/3)
+(1/3)^2 / (2/3)
+(1/3)^3 / (2/3)
+(1/3)^4 / (2/3)
.....

Como podrás observar todos los denominadores son iguales, así que al ser una constante los factorizamos:

y tenemos que:

1/(2/3) * [1/3+1/3²+1/3³+1/3^4+... ∞]

Y como podrás observar entre corchetes tenemos otra sume geométrica de la cual ya conocemos su resultado (por tantas series previas que hicimos jajaja).

E = 1/(2/3) * [(1/3)^1 / (1-1/3)]
E = 1/(2/3) * [(1/3) / (2/3)]
E = 1/(2/3)^2 * [(1/3)]
E = 1/(4/9) * [(1/3)]
E = 9/4 * [(1/3)]
E = 3/4

Que finalmente es la respuesta que deseas.

Espero te sea útil y si tienes dudas mi correo es [e-mail]

Answer 5

El valor de E tiende a uno...

Answer 6

E=1
Es la sumatoria de(k+1)/3^(k+1) con k de cero a infinito

Answer 7

E=1

Answer 8

1

Answer 9

E=infinito