Gruppo fondamentale, chiarimenti?

Question

Qualcuno sa spiegarmi in parole meno complicate che su wikipedia, perché il gruppo fondamentale del toro è isomorfo a ZxZ? In termini matematici che significa? E cosa un'omotopia?

Mitheldil si frequento il primo anno di univeristà di matematica, e queste cose le abbiamo fatte a geometria l'ultima lezione e non capivo bene cosa erano...cmq grazie a tutti! :D

Answer 1

Allora: la spiegazione del perche' il gruppo fondamentale del toro e' ZxZ e' direi molto bella quella di the artist.
Che cosa e' un'omotopia? Beh, mi sto facendo una domanda anch'io: ma tu sei studente di matematica o no? :) in ogni caso, cercando di spiegarla non in matematichese, e' una funzione che ti permette di passare da (ad esempio) uno spazio topologico a un altro in modo continuo; e' molto simile al concetto di cammino se vuoi. ad esempio, considera una corona circolare.
Siano, in prima istanza, X e Y due curve (per semplicita' supponi che non si intersechino) chiuse che non "giranop intorno al buco": se immagini la corona circolare come un contenitore e le curve come elastici, puoi notare che puoi portare X su Y senza fare strappi: questo significa che sono omotope, cioe' posso portarle in maniera continua una sull'altra.
Se invece X si allaccia attorno al buco e Y no, non riuscirai mai a portare X su Y senza fare un taglio all'elastico (provare per credere), cioe' non esiste nessuna funzione continua che "trasformi" X in Y; in altre parole non sono omotope.

Spero di averti un po' chiarito le idee. In ogni caso, consuta "introduzione alla topologia algebrica" di kosniowski (penso si scriva cosi': non lo ricordo): e' scritto molto bene (ed e' in italiano!!! :P)

Ciao ciao : )

Answer 2

1) Il gruppo fondamentale di S^1 è Z.
2) Il toro è omeomorfo a S^1 x S^1.
3) il gruppo fondamentale è invariante per omeomorfismi.
4) il gruppo fondamentale del prodotto topologico è il prodotto diretto dei gruppi fondamentali dei fattori.

Quindi il gruppo fondamentale del toro è Z x Z.

Answer 3

Non ti spiegherò che cos'è un'omotopia! Proverò invece a spiegarti perché il gruppo fond. del toro è ZxZ. Innanzitutto: il gruppo fondamentale di una circonferenza è Z: infatti fissa un punto qualunque, e percorri la circonferenza in senso orario: questo è 1; percorrila un'altra volta e ottieni 2 ecc...percorrila in senso opposto ed ottieni -1 ecc...

Ora prendi un toro! Visto che non te lo posso disegnare ti propongo di guardarlo dall'alto, in tale modo lo vedi come una corona circolare. Fissa un punto sul toro, uno qualunque, ma per comodità mia ti chiedo di fissarlo sulla circonferenza interna della corona circolare che vedi dall'alto secondo la nostra convenzione. Dunque parti da questo punto fissato: puoi percorrere il toro in due modi: il primo è percorrere tutto il bordo interno della corona circolare e l'altro è quello di camminare verso il bordo esterno , raggiungerlo (da sopra) e poi tornare indietro (da sotto). In questo modo hai ottenuto due percorsi distinti che non sono altro che due circonferenze. Abbiamo visto prima che un circonferenza ha cme gr. fond. Z. Qui hai due circonferenze distinte ertanto ognuna genera indipendentemente dall'altra un gruppo Z e in totale ottieni quindi ZxZ. Ultimo particlare: bisogna verificare che ogni cammina che parte da un punto del toro e ritorna su quel punto dopo aver percorso il toro in tutti i modi più disparati è ottenuto come combinazione dei precedenti...beh...divertiti!!!

Condivido il consiglio KOSNIOWSKI: è un ottimo libro introduttivo scritto in maniera chiara e semplice!

Answer 4

http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
è il link per scaricare gratuitamente il libro di un professore di topologia algebrica dell'Università di Cambridge...
è in inglese...
di più non posso fare....
spero di esserti stato utile....

Answer 5

Guarda il libro del professor Sernesi, Geometria 2. Troverai tutto spiegato al meglio e in breve.