Kann mir jemand den Satz des Pythagoras gründlich erklären?

Answer 1

Der Satz des Pythagoras gilt nicht nur für Quadrate, sondern es ist für die Flächengleichheit hinreichend, wenn die Figuren über den Katheten und der Hypotenuse zueinander ähnlich sind, d. h. wenn sich ihre Flächen wie a2 : b2 : c2 zueinander verhalten.

Anwendung

Aus dem Satz des Pythagoras folgt: Die Länge der Hypotenuse ist gleich der Quadratwurzel aus der Summe der Kathetenquadrate, es gilt also:

c = \sqrt{a^2 + b^2}

Die einfachste und wichtigste Anwendung des Satzes ist, aus zwei bekannten Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die Dritte zu berechnen. Dies ist durch Umformung der Gleichung für alle Seiten möglich:

a = \sqrt{c^2 - b^2}

b = \sqrt{c^2 - a^2}

Die Umkehrung des Satzes kann dazu verwendet werden, um zu überprüfen, ob ein gegebenes Dreieck rechtwinklig ist. Dazu wird schlicht getestet, ob die Gleichung des Satzes für die Seiten bei dem gegebenen Dreieck zutrifft. Es reicht also allein die Kenntnis der Seitenlängen eines gegebenen Dreiecks, um daraus zu schließen, ob es rechtwinklig ist:

Seitenlängen 3, 4, 5 => 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 => Das Dreieck ist rechtwinklig.

Seitenlängen 4, 5, 6 => 42 + 52 = 16 + 25 = 41 ≠ 62 => Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.

In der Praxis wird der Satz des Pythagoras, neben Sinus- und Kosinussatz, auch heute noch vor allem für das Vermessen von Gelände verwendet.

Answer 2

Bei einem beliebigen Dreieck, das einen rechten Winkel besitzt (Ein Rechter Winkel ist ein Winkel von 90°), heißt die längste Seite Hypothenuse (c) und die beiden kürzeren Seiten heißen Katheten(a und b).
Pythagoras fand heraus, dass der Flächeninhalt des Quadrates über der Hypothenuse(c²) genausogroß ist wie die Summe der beiden Kathetenquadrate (a² + b²).

a²+b² =c²
Das wiederum bedeutet, dass man die Länge einer Kathete oder der Hypothenuse rechnerisch (durch radizieren)bestimmen kann, wenn die Länge der beiden anderen Seiten bekannt ist.
Beispiel :
a = 4; b=3; c soll ermittelt werden.
Dann ist C = Wurzel aus a²+b² = Wurzel aus 16+9 = Wurzel aus 25 = 5

Answer 3

Das bedeutet eigentlich, dass die beide Strecken die den 90 Gradwinkelschneiden, ihre quadratische Fläche zusammen wie die längste Seite ihrer Fläche ist. Mit Fläche meine ich die Seitenlänge mal sich selbst. Schade, das es nur bei rechtwinkligen Dreiechen funktioniert.(Andere musst du in rechtwinklige Dreiecken teilen.)

Answer 4

Der Satz von Pythagoras ist das zweite große geometrische Zahlengeheimnis. Ob nun Pi oder Pythagoras häufiger strapaziert wird weiß ich nicht, aber zu Pythagoras sind letzthin modernere Arbeiten erscheinen.
Pythagoras, der griechische Philosoph und Mathematiker (ca. 570-480 v. Chr.), gründete eine Schule der Philosophie, in der Musik und mit ihr Zahlen eine besondere Bedeutung besaßen. Die gesamte Welt sollte sich aus dem Zusammenwirken von Zahlen erklären lassen, als Konsequenz daraus suchten die Pythagoräer nach mathematischen Gesetzmäßigkeiten zur Erklärung der Natur.
Eine der Gesätzmäßigkeiten die dabei gefunden wurde betraf sogenannte rechtwinklige Dreiecke. Das sind Dreiecke in ein Winkel 90°, ein "rechter Winkel" eben, auftaucht. Die Seiten die an den Rechten Winkel grenzen nennt man Katheten, die Seite die die beiden Katheten verbindet wird Hypotenuse genannt. Die Pythagoräer fanden nun heraus:
Die Hypotenuse ist immer die längste Seite
Ein Quadrat, welches mit der Hypotenuse konstruiert wird, besitzt immer dieselbe Fläche wie die beiden Quadrate, die man mit den Kathetenlängen konstruieren kann zusammengenommen.
Mathematisch wird die Zeichnung daher wie folgt beschrieben: A2 + B2 = C2 .
Im Bild kann man es sich beser vorstellen.
Viele Rechenbeispiele findest du hier:

Answer 5

den pythagoras wendet man an einem rechtwinkligen dreieck an

da gibt es die kathede a und b und die hypethenuse c

die hypothenuse c ist die deseite gegenüber dem rechten winkel und die katheden liegen direkt am rechten winkel an

noch ein beispiel a² +b² = c²

a = 3
b = 4
C = x

3² +4² = c²

9+ 16 = 25

und dann die wurzel aus 25 und das ist 5
also die hypothenuse ist 5 cm lang

Answer 6

schau mal hier. Besser kann ich es auch nicht.
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras

Answer 7

ich versuchs mal mit eigenen Worten... wenn du ein gleichseitiges Dreieck (sprich, ein Winkel 90°) hast, dann kannst du die beiden Seiten, die am rechten Winkel liegen (a und b) jeweils hoch zwei nehmen und addieren, dann bekommst du die dritte Seite (c) auch hoch zwei, da musst du dann die Wurzel ziehen. oder du stellst die Gleichung um, also nicht a²+b²=c², sondern z.B. c²-a²=b², so bekommst du b heraus. Man kann auch alle anderen Dreiecke ausrechnen, man muss sie nur so durchschneiden, dass beide Teildreiecke rechtwinklig sind und die Länge der Durchschnittslinie haben, dann macht man es genauso. Ähm. Bin kein Mathegenie, hast du es trotzdem verstanden?

Man kann damit auch die Länge einer Rechteckdiagonale berechnen. Rechteck mit den Seiten a und b, diagonal durchschneiden, a²+b²=c² et voila.

Answer 8

Der Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist. Als Gleichung ausgedrückt lautet er

a2 + b2 = c2,
wobei a und b wie im Bild rechts für die Längen der am rechten Winkel anliegenden Seiten, der Katheten, stehen und c die Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, der Hypotenuse, darstellt.