¿Cuál es la probabilidad de que una ecuación de 2º grado tenga soluciones reales?

Question

Perdonen Uds. pero busco honestamente soluciones. No se trata de un problema básico de matemáticas donde se pueda improvisar. Agradezco sinceramente el interés que ponen Uds. en responderme.

Aclaraciones:
Una ecuación tendrá soluciones reales si el discriminante es positivo. Para que esto ocurra. Se tiene dos posibilidades disyuntas:

Que (-4.a.c) sea positivo ( esto que a.c sea negativo ). La probabilidad de este caso es sencilla. El producto de dos números tiene la misma probabilidad de ser + que -. Aquí la probabilidad de 0,5

ó (U)

que (-4.a.c) siendo negativa, su valor absoluto sea menor a b cuadrado.

Es en este punto, donde tengo algunas dudas... AQUÍ es donde necesataría una ayudita. GRACIAS

En primer lugar un saludo a todos. Dicho esto paso a exponer algunas de las dudas que están contradiciendo mis cálculos.



Que el conjunto de parábolas que se pueden representar está formado por tres conjuntos disyuntos entre si.

Parábolas cuyas ramas:

1.- Cortan al eje de las abscisas (b^2-4ac>0). ( sol. reales)

2.- Como las que no (b^2-4ac<0) (basta con multiplicar por (-1) la función para cambiar su concavidad) ( sol. complejas).

3.- Las parábolas de solución doble ( b^2=4ac). ( sol. reales)

Por simetría, los conjuntos de los apartados 1 y 2 son idénticos. Por lo tanto las probabilidades también lo son.


Dicho esto se deduce lo siguiente, que si determinamos el valor de P3, sabremos determinar unívocamente los otros dos casos.

He aquí lo chocante, ( aunque parecería lógica, ??? valor concreto en una función contínua). he deducido por varios métodos que la probabilidad del caso 3 (

En primer lugar un saludo a todos. Dicho esto paso a exponer algunas de las dudas que están contradiciendo mis cálculos.



Que el conjunto de parábolas que se pueden representar está formado por tres conjuntos disyuntos entre si.

Parábolas cuyas ramas:

1.- Cortan al eje de las abscisas (b^2-4ac>0). ( sol. reales)

2.- Como las que no (b^2-4ac<0) (basta con multiplicar por (-1) la función para cambiar su concavidad) ( sol. complejas).

3.- Las parábolas de solución doble ( b^2=4ac). ( sol. reales)

Por simetría, los conjuntos de los apartados 1 y 2 son idénticos. Por lo tanto las probabilidades también lo son.


Dicho esto se deduce lo siguiente, que si determinamos el valor de P3, sabremos determinar unívocamente los otros dos casos.

He aquí lo chocante, ( aunque parecería lógica, ??? valor concreto en una función contínua). he deducido por varios métodos que la probabilidad del caso 3 (

CORRECCIÓN
Un saludo a todos. Expongo algunas de las dudas que están contradiciendo mis cálculos.
Parto de las siguientes premisas.

Que el conjunto de parábolas que se pueden representar está formado por tres conjuntos disyuntos entre si.

Parábolas cuyas ramas:
1.- Cortan al eje de las abscisas (b^2-4ac>0).(sol. reales)

2.- Como las que no (b^2-4ac<0) (basta con multiplicar por (-1) la función para cambiar su concavidad) (sol. complejas).

3.- Las parábolas de solución doble ( b^2=4ac). ( sol. reales)

Por simetría, los conjuntos de los apartados 1 y 2 son idénticos. Por lo tanto las probabilidades también lo son.


Si determinamos el valor de P3, sabremos determinar unívocamente los otros dos casos.

He aquí lo chocante, ( aunque parecería lógica, ??? valor concreto en una función contínua). he aplicado varios métodos y la probabilidad del caso 3 ( b^2=4ac)

me sale que es probabilísticamente nula( futuras aclaraciones)

AQUI es donde estoy "atorado".

Entono un "mea culpa"a Fibonacci, su aclaración es correcta. Con las prisas (hice una traslación de coordenadas del vértice, para abreviar cálculos, y se me pasó indicarlo). Así, si me lo permites volveré a exponer de nuevo la situación.
Toda parábola ( corte o no al eje de las abscisas) tiene otra simétrica de vértice común , según un eje de simetría que pasando por el vértice de la parábola es paralelo al eje de abscisas.
En esta situación se tienen duplas de parabólas,(cóncavas/convexas) simétricas con vértice común. Una admite solución real y otra no. Lo expuesto anteriormente me parece válido, si exceptuamos al subgrupo de las parábolas(cóncavos/convexas de vértice común) tangentes al eje de las abscisas. ( ambos muestras soluciones reales, dobles). Éste subgrupo ( b^2-4ac=0) es ,en el que compartimos, de momento, que tiene probabilidad NULA. Pero el otro subgrupo, disyunto y complementario a este, es plenamente simétrico. Así es 0,5 la solución. Pido comentarios

Para Fibonacci ( y para lo demás, por supuesto ).Agradecerte tus comentarios siempre oportunos y esclarecedores. Sigo tu consejo y me he decantado por explorar la solución vía Integral. En este campo estoy honestamento en un nivel medio/bajo, pero he entendido perfectamente el desarrollo de tu propuesta. Aunque presiento "ciertas dudas" en la validez del método de intengración, sobre todo por las "singularidades" que a mi juicio las funciones presentan dentro de los intervalos. De momento no puedo poner en tela de jucio tu desarrollo, dado mis carencias.

He utilizado un método parecido al que has expuesto, pero partiendo de la función simplificada x^2 +px +q =0. En vez de una integral triple ( con las dudas expresadas anteriormente), he rebajado un grado- Pero el resultado que he conseguido, por la relación parabólica p^2< 4q etc... no es 5/9. ¿Es factible esta vía? . Si es así, te importaría hacer tú los cálculos y exponerlos, para poder compararlos y modificar los mios. Gracias

Mis disculpas a Rock29 por no haberlo nombrado explicitamente, mi resultado es en este momento similar al suyo. Mi relación de áreas es la siguiente
(1/12+1/4)/1/2 obteniéndose 2/3, también quisiera nombrar a "Rebelde con causa" pues su método de conteo me ha resultado esclarecedor ( 0,63 frente a 0,666...). Tengo que nombrar necesariamente a todos los contertuleos que me han ofrecido su tiempo y paciencia, incluso algunos han alcanzado el resultado 2/3, aunque debo de decir en honor a la verdad que difiero "ligeramente" de sus razonamientos. GRACIAS a todos

Answer 1

Eso depende de la distribución que estés usando para escoger tus coeficientes a, b, c. ¿Qué será? ¿Una gaussiana de media 0 y varianza 1? ¿Una Cauchy? ¿Una chi-cuadrado?
Digamos (porque me facilita infinitamente los cálculos) que los tres reales a, b, c, son independientes e idénticamente distribuidos. Más aun, supondré que la distribución para cada uno es una uniforme en el intervalo [-L, L] y luego haré tender L a infinito (por obvias razones no puedo tomar una uniforme en todo el conjunto de los reales).
En adelante se entenderá que las variables reales mencionadas están siempre en el intervalo [-L, L].

Para que la ecuación tenga una solución real es necesario que b² >= 4ac; de modo que para hallar la probabilidad toca hallar el volumen donde esto se cumple, y luego dividirlo por 8L³ (el volumen total de la "caja" donde se están escogiendo los números).

Luego:
N = {(a,b,c) | -2 raíz(ac) <= b <= 2 raíz(ac), a·c >= 0} es el conjunto donde *NO* se cumple la condición (me disculpo por la notación tan chapucera, pero no tengo TeX para escribir bien).
V = integral( db dc da, N) es el volumen de ese conjunto (estoy indicando primero el integrando y luego el dominio de integración).
V = integral( db dc da, {(a,b,c) | -2 raíz(ac) <= b <= 2 raíz(ac), a·c >= 0})
= 2·integral(4 raíz(ac) dc da, [0, L]×[0, L]) por simetría
= 8·integral(raíz(a)·raíz(c) dc da, [0, L]×[0, L])
= (16/3)·L^(3/2)·integral(raíz(a ) da, [0, L])
= (32/9) L^(3/2)·L^(3/2)
= (32/9) L³

Ahora bien, si recuerdas la definición de N, era el conjunto donde NO se cumplía la condición, luego el volumen del conjunto donde *SÍ* se cumple es:
W = 8L³ - V = (40/9) L³
Por lo tanto, la probabilidad de que para tres reales arbitrarios escogidos según las hipótesis previas exista una solución a la ecuación es de:
p = ((40/9) L³) / (8L³) = 5/9, o aproximadamente 0.555555...
Hacer tender L a infinito no cambia nada, pues esta probabilidad es constante; por lo tanto, bajo las hipótesis iniciales, la probabilidad de que la ecuación de segundo orden ax² + bx + c = 0 tenga al menos una solución real es de 5/9.

Ahora bien, si quisieras escoger los números con alguna otra distribución probabilística (la normal parece ser la favorita de los instructores, tal vez por lo fácil de manejar), no tendrías más que meter la función de distribución conjunta de (a, b, c) en el primer integrando y calcular desde ahí. Un trabajo largo tal vez, pero para nada difícil con una buena tabla de integrales.

ACTUALIZACIÓN:
En cuanto a tu duda, el razonamiento intuitivo que expones está mal.
Los conjuntos 1 y 2 NO SON idénticos, ni siquiera en probabilidad: Si multiplicas por -1 (la ecuación de) una parábola que corte el eje de las abscisas, su concavidad cambiará, pero SEGUIRÁ CORTANDO el eje. Lo mismo si multiplicas por -1 (la ecuación) de una parábola que no corte el eje, seguirá sin cortar el eje después de la transformación.
Sin embargo tienes razón en algo: el tercer conjunto sí tiene probabilidad nula. Si calculas mi integral usando límites con < en lugar de <=, el resultado va a ser exactamente el mismo.

ACTUALIZACIÓN 2:
La biyección que propones, (a, b, c) --> (-a, -b, b/a - c) no hace automáticamente que los dos conjuntos tengan la misma probabilidad, por no mencionar que en algunos casos el resultado se saldrá de los límites [-L, L].
Por ejemplo, no puedo decir que el intervalo [0, 1] tiene la misma longitud que el intervalo [0, 3], solamente porque la biyección x --> 3x transforma el uno en el otro, haciéndolos simétricos. La respuesta correcta es integrar.

ACTUALIZACIÓN 3:
No sirve, por una simple razón: los dos números p, q, ya no serían arbitrarios, sino que obedecerían a las relaciones: p = b/a, q = c/a. Eso significa que muchas tripletas de números (a, b, c) serían transformadas en una sola pareja (p, q), distorsionando la probabilidad real.

Answer 2

14-(5x-a million)(2x+3)=17-(10x+a million)(x-6) Vale ahora vamos a quitar el primer paréntesis 14-(10x^2+15x-2x-3)=17-(10x² -60x+1x-6) 14-10x² -15x+2x+3=17-10x² +60x-1x+6 14+3-17-6=60x-1x+15x-2x -6=72x x=-6/seventy two Reduciendo: x=-a million/sixteen Saludos.

Answer 3

Es una pregunta un tanto capciosa, tomando en cuenta que las ecuaciones de 2do grado hay infinitas y son infinitas las cuadraticas que tienen soluciones reales. Por lo tanto hablar de probabilidad es un poco dificil o resulta raro. tratare igual de hacerlo:


tomemos el discriminante: b^2 - 4 a c y consideremos que a=1

(es posible hacerlo porque siempre puedo dividir por a toda la ecuación, cambiando b y c por otros numeros B y C nuevos)

luego B^2 -4 C>= 0 con B,C є |R
con lo cual C<= B^2 / 4
ahora si considero la funcion y= x^2 / 4 tengo una gráfica que me indica el limite de los valores de C (y) segun el x (B) que tome. entonces caigo en el tema probabilidad. y lo que voy a hacer es tomar un RECTANGULO de N x N^2 (X x Y) con centro el (0;0) y ver el area total del MISMO y el area por debajo de la funcion antes nombrada.

Area[total] = N*N^2 = N^3
Area[y<=x^2/4] = integral(-N/2;+N/2; x^2 / 4 dx] + N^2/2*N = ...,

...= (N/2)^3 / 6 - (-N/2)^3 / 6 + N^3 / 2 = 2* (N^3 / 8) / 6 + N^3 / 2
...= N^3 / 24 + N^3 / 2 = 13/24 * N^3

por el lado de la definicion de probabilidad se me ocuirrio que es posible aplicar la definición clasica:

............Area[fun]............13 / 24 * N^3
p = ------------------- = ----------------------- = 13 / 24
............Area[total]................ N^3

Si AUMENTO N cada vez mas hasta llegar a infinito seguira valiendo ese resultado; luego esa es la probabilidad buscada.

Cualquier duda remitime un mail.

saludos
NBU

Answer 4

Voy a intentar ayudarte,pero añado que con riesgo de equivocarme.Utilizo mayusculas para las letras.

B^2-4AC=0

A,B,C son un conjunto de posibles valores desde -infinito a infinito(valores posibles del conjunto de los numeros reales)que pueden tomar el mismo numero de valores(infinitos).Olvidemonos un momento del 4.

Imaginemos las posibilidades de que AC=BB o lo que es lo mismo BB-AC=0

Las posibilidades de que A y C sean el mismo numero y a su vez sean iguales a B al cuadrado son infinitas.Por ejemplo B=1,y te digo A=1,C=1.B=2 y te digo A=2,C=2.Para los infinitos valores que le des a B,es posible encontrar la misma cantidad(infinitos)de valores para A y C.Hay infinitas posibilidades de que se cumpla.

Si añadimos el 4 lo unico que hacemos es exigir que B al cuadrado sea multiplo de 4,pero tambien hay infinitos valores multiplos de 4.Asi que las posibilidades,son infinitas.(Eso si,aqui te busca las soluciones quien yo te diga...)

Como veo que me fui de la pregunta y no termine escribiendote la conclusion,te la escribo(perdon).Las posibilidades de que alguno de los dos terminos sea mayor es tambien infinita(BB o AC).Es trivial,puesto que los mismos elementos A y C que hacen cero la resta para un valor B determinado,hacen que para valores menores de B hagan la resta de la raiz negativa(numero complejo)o para valores mayores de B positiva(numero real)y habiamos quedado en que las combinaciones posibles que hacian anularse el discriminante eran infinitas.Piensa por ejemplo B=2.Cualquier convinacion de A mayor o igual que 2 y cualquier C mayor o igual a 2 siendo al menos uno de los dos estrictamente mayor que 2 hacen menor que cero la raiz(solucion compleja).Y puedes intentar hace 50000 combinaciones de esas y veras que hay infinitas.

Y viceversa,piensa en C=13 y A=17.Te aseguro que a partir de B=30(no lo he calculado,pero te digo un valor de B que fijo lo supera)todos los valores de B mayores que el hacen la raiz positiva(solucion real).Y volvemos a lo de antes,¿cuantos numeros mayores que 30 hay?Infinitos.Infinitas posibilidades

Si,posiblemente pensaras que va en contra de toda logica,pero lo he mirado ahora otra vez y no creo que lo tenga mal.Piensa que no es como las posibilidades de que te salgan dos seises seguidos en dos dados.Aqui,segun lo has planteado hay infinitos valores para A B y C.Por eso hay infinitas combinaciones posibles(No hay ningun dato que las limite,por ejemplo,que no puedan ser dos el mismo numero).Parece logico pensar que las posibilidades son infinitas y es lo que yo he intentado demostrar(repito que creo que bien pero es de un nivel relativamente alto de algebra).Pero infinitas para los dos casos.Esto no significa el 50% cada uno,A y C tiene que tener el mismo signo y ademas ser mayores que B^2 para que sea irreal,son dos requisitos,contra uno solo que tienen que cumplir para ser reales,que es ser de signo diferente,Por lo tanto es mas probable que te salgan numero reales que complejos por ese motivo pero no es cuantificable porque ninguna de las aqui variables(ABC)tiene un tope definido y sigue habiendo infinitas con cada posibilidad.
Si no me equivoco,cuanto mas proximos a cero(por encima o por debajo)sean los valores maximos de A,B y C mas posibilidades hay de que la raiz sea real.

Answer 5

Creo que se puede resolver analíticamente, pero para estos casos tengo un método muy práctico que se llama simulación.
Usando Excel se escribe en la primera fila =aleatorio.entre(-10000;10000), se copia en b1 y en c1. Esos son los valores de b, a y c respectivamente. En la cuarta columna (d1) se escribe =a1^2-4*b1*c1 o sea el discriminante.
Se copia la fila por ejemplo 5000 veces y con los resultados se hallan los valores necesarios.
=Contar.si(d1:d5000; ">=0") me da discriminante no negativo. Con =Contar.si (d1:d5000;"<0") me da discrinminate negativo.
Hallo el total y divido discriminante no negativo por el total, esa es una estimación de la probabilidad. Se puede repetir varias veces y promediar. A mí me dio la probabilidad igual a 0,6294.
El método es solo aproximado ya que la probabilidad varía con los límites que le de a aleatorio. Yo le puse -10000 a 10000 pero si le pongo números más grandes varía ligeramente tomando valores más pequeños ya que la probabilidad de 0 disminuye. El método serviría para estimar la probabilidad de raíces reales diferentes.

ADICIONAL:
El problema es más complejo de lo que parece.
1) Se necesita dar una distribución de probabilidades sobre los valores de a, b y c.
2) Lo primero que viene a la mente es darles a todas una distribución uniforme sobre los reales.
3) Esa distribución es loquísima ya que hay que definirla como un límite (que para más el límite es cero). Sería f(x)=lim w->infinito(1/w). ¡Espantoso!
4) Uno puede sonreir y decirse en fin basta limitar el dominio, por ejemplo de -1 a 1 y nos daría: f(x)=1/2=05 cosa muy bonita!! Pero:
5) La distribución de b^2 sería:
f(b^2)=0,5/abs(2*b) ¡Espantosa! ... y ni qué hablar de la distribución de 4ac!!
6) En pocas palabras, no sé dónde nuestro amigo sacó el problema pero se metió (y nos metió), en un tremendo berenjenal!!

Yo me declaro vencido, lo cuál no es ninguna verguenza, verguenza es ser malo y mentiroso.
Yo usé simulación porque hay más problemas que no tienen solución simple que los otros. La simulación la uso cuando todo falla. Además según una encuesta hecha por la IFORS que es algo de Operations Research Society mostró que en la práctica lo que más se usaba es simulación. Yo personalmente que me especialicé en IO habré usado dos o tres veces Programación Lineal, pero un montón de veces simulación.

Mi voto es por p=0,625 más menos 0,001.
Obtenido usando una uniforme generar cada variable considerada discreta desde -10.000 hasta 10.000.
Pero todavía hay tiempo y quizás alguno de ustedes descubra la solución. Yo los saludo con todo cariño y les deseo suerte.

Answer 6

Tu pregunta está mal planteada: No se trata de probabilidades, una ecuación de 2º grado TIENE O NO TIENE una solución real según se plantée no tiene ningún componente probabilístico.
ax^2 + bx + c = 0 es la forma genérica de las ecuaciones de 2º grado.
Si ves la fórmula que la resuelve (trabaja un poco), cuando 4ac es mayor que b^2, siempre tiene al menos una raiz imaginaria o compleja puesto que interviene el famoso Nº "i"

Answer 7

EN CONSTRUCCIóN aquí explico la idea básica de la solución pero hay algunas cosas que preferí obviar para no parecer que estaba sobre-explicando, si hay algo que no tengas claro sobre la solución agrégalo en los detalles :D

Importante!!! Algo que parece que muchas personas están pasando por alto al hablar de probabilidad: Por decirlo de alguna manera, el que para todo grupo de casos la probalidad de que se dé un caso del grupo sea igual a número de casos del grupo entre número de todos los casos, es cierto si y sólo si todos los casos poseen la misma propabilidad de ocurrir!!! Y un ejemplo muy secillo para justificarlo es el siguiente:

¿Cuál es la probabilidad de que en un dado te salga el 1?
Fácil! Lo más normal sería decir 1/6 es un caso deseable y seis posibles.
Pero que tal si dijera que los casos son:
-Que salga 1.
-Que no salga 1
Entonces no concluiría a caso que la probabilidad de que salga 1 es 1/2? No! porque no existe nada que nos haga pensar que estos dos casos tienen igual probabilidad de ocurrir a diferencia del anterior en que tal vez lo que justificaba era la "simetria" del dado.

SOLUCIÓN:
1. Si el polinomio de segundo grado toma los valores de sus coeficientes del conjunto de los números complejos entonces ... la probabilidad de que tenga soluciones reales es un infinitesimal.

2. Supongamos que el polinomio de segundo grado toma los valores de sus coeficientes del conjunto de los números reales. Si el polinomio es ax2 + bx + c tendrá raíces reales si y sólo si el polinomio x2 + (b/a)x + (c/a) = x2 + px + q (el que se obtiene dividiendo entre a) tiene soluciones reales si y solo si su discriminante p2 - 4q >= 0. Luego la probabilidad que se busca es la de que dada una pareja de reales arbitraria (p,q) se cumpla que p2 - 4q >= 0 o lo que es lo mismo (p2)/4 >= q y que precisamente se define como el limite de cuando h tiende al infinito de la probabilidad de que dado un elemento arbitrario (x,y) de [-h,h] x [-(h2)/4,(h2)/4] (el conjunto de las parejas (x,y) tal que -h <=x <= h y -(h2)/4 <= y <=(h2)/4 ) cumpla (x2)/4 >= y. El area de [-h,h] x [-(h2)/4,(h2)/4] es 2(h) x 2((h2)/4) = h3, y el area del locus de los (x,y) en [-h,h] x [-(h2)/4,(h2)/4] que cumplen (x2)/4 >= y es (1/2)h3 + (1/6)h3 = (2/3)h3, por la que la probalidad es 2/3 y obviamente el limite de cuando h tiende a infinito de esta probabilidad tambien es

"""""""2/3""""""""""

Para calcular el ultimo area se uso integrales y en esencia no hay manera de hacer esto sin integrales! ni siquiera lo que agregaste de con lo de valor absoluto que me parece que se haría de una manera básicamente similar. Si se ve la grafica de y = (x2)/4 la solucion tal vez sea mas convincente. Solo faltaria, si tu lo requieres, justificar mas porque se usa [-h,h] x [-(h2)/4,(h2)/4] pero por eso esto esta EN CONTRUCCION.

Answer 8

Tiene siempre dos soluciones , una de signo positivo y otra igual pero de signo negativo, (pues + x + = +; ó - x - = + )es real al menos una. 50%.-
F.-

Answer 9

Yo diría 2/3.
Los casos posibles son tre. Que el discriminante sea cero, mayor que cero y menor que cero.
La solución no es real cuando el discriminante es menor que cero. Por lo tanto los casos favorables son 2 de 3

Answer 10

Para obtener la probabilidad se puede emplear la teoría fundamental del conteo, e inclusive la teoría de conjuntos. Todas las posibilidades de que se den las diferentes respuestas son una permutación de los números; por ejemplo:
1. De que tenga una solución real y una compleja
2. De que tenga una solución compleja y una real
3. De que las dos soluciones sean complejas
4. De que las dos soluciones sean reales.

Desde éste enfoque se considera que son iguales las soluciones sin que el orden importe; así, con la probabilidad clásica se obtiene que es de 1/4 o 0.25

Para comprobar éste valor se pueden asignar probabilidades a variables simultáneas: X es la probabilidad de que la solución sea real e Y es la probabilidad de que lasolución sea compleja. Así, la probabilidad de que ambas raíces sean reales es P(X=2, Y=0)