On suppose, pour simplifier, que la machoire de la chèvre ne dépasse pas l'extrémité de la corde.
2007-02-02 19:14:23 · 11 réponses · demandé par bilou 1 dans Sciences et mathématiques ➔ Mathématiques
La longueur à prendre dépend linéairement du rayon du pré, donc on peut supposer que celui-ci vaut 1.
C le cercle de centre 0 et de rayon 1, C' le cercle de centre 1 et de rayon R>1 (cf une question déjà posée, si R=1 on broute 39% du pré.)
Les points d'intersection des deux cercles sont d'abscisse 1-R²/2 (immédiat). L'aire broutable est alors divisée en quatre parties égales deux à deux par les droites d'équations x=1-R²/2 et y=0;
L'aire d'une des parties les plus grandes est l'aire sous la courbe y=racine(1-x²) entre les abscisses 1-R²/2 et 1, c'est une intégrale, donc, qu'on multiplie par 2 puisqu'il y a deux parties ayant cette aire.
L'aire d'une des parties les plus petites est l'aire sous la courbe y=racine(R²-(x-1)²) entre les abscisses 1-R et 1-R²/2.
On calcule ainsi l'aire de la partie broutable, et l'équation est que ça doit valoir pi/2, puisque l'aire du pré est pi.
Une valeur approchée de la longueur de corde solution du problème est 1,1587 (rappel: la rayon du pré est 1)
Remarque: on vérifie bien que cette valeur est plus petite que racine de 2, et c'est normal car sachant que les cercles s'intersectent en l'abscisse R²/2, si R=racine(2) on voit immédiatement sur un dessin que l'aire broutée est strictement supérieure à la moitié du pré.
2007-02-02 21:00:59 · answer #1 · answered by arnaud m. 3 · 0⤊ 2⤋
Tu as tout le week end pour faire tes devoirs.
Et : S'il vous plait ca ne t'aurais pas écorché !
2007-02-03 03:26:39 · answer #2 · answered by Roby 6 · 2⤊ 2⤋
On trace le cercle C' de centre A et de rayon l qui coupe le
cercle C en H et K. J est le point diamétralement opposé à A sur le
cercle C, et P est la projection orthogonale de O sur (AH).
Pour obtenir l'aire S commune aux deux cercles, on additionne l'aire
S1 du secteur AHK du cercle C', l'aire S2 du secteur OHK du
cercle C, et on soustrait l'aire S3 du quadrilatère AHOK (qui serait
comptée 2 fois sinon).
On prend comme inconnue l'angle OAH = x en radians.
On a : AK = AJ * cos x (dans le triangle rectangle AKJ)
d'où l = 2*R*cos x
S1 = (1/2)*l^2*(2*x) = x*l^2 = 4*R^2*x*(cos x)^2
Le triangle OAH est isocèle de sommet O, donc AOH = Pi - 2*x et
S2 = (1/2)*R^2*2(Pi-2*x) = R^2 *(Pi-2*x)
S3 est deux fois l'aire du triangle OAH :
S3 = 2*OP*PA = 2* R*sin x * R*cos x = 2*R^2 * cos x * sin x
L'équation à résoudre est S = Pi*R^2/2 ou encore
S1 + S2 - S3 = Pi*R^2/2
4*R^2*x*(cos x)^2 + R^2 *(Pi-2*x) - 2*R^2*cos x * sin x = Pi*R^2/2
qui se simplifie en :
2 * sin x * cos x - 2 *x * (2 * (cos x)^2 -1) = Pi/2
En posant y = 2x :
sin y - y * cos y = Pi/2
y est l'angle HAK et est compris entre 0 et Pi.
La fonction f : y --> sin y - y * cos y est continue et strictement
croissante sur [0 , Pi] et f(0) = 0 et f(Pi) = Pi.
L'équation f(y) = Pi/2 admet donc une seule solution dans [0 , Pi].
Avec un outil de calcul, on trouve : y = 1.905695729...
On en déduit ensuite : l/R = 2 * cos(y/2) = 1.158728473...
2007-02-03 06:11:41 · answer #3 · answered by Le Basané 3 · 1⤊ 2⤋
aucune idée
2007-02-03 03:18:57 · answer #4 · answered by DELANEY en mode corps nichons 6 · 2⤊ 3⤋
Cela me parait très compliqué. Intersection de 2 cercles!!
En tout cas Sherry a tort. Il suffit de faire un petit dessin (pour voir qu'il a tort et pas pour trouver la solution).
2007-02-03 03:29:12 · answer #5 · answered by Bob 6 · 2⤊ 4⤋
J' espere qu' il est pas trop grand ton pre, because si tu veux lui faire bouffer le tout, elle va exploser ta biquette !!
2007-02-03 03:31:22 · answer #6 · answered by Anonymous · 1⤊ 4⤋
Impossible ton truc, impossible....
Ou alors possible mais avec des équations compliquées, le bon sens ne suffit pas.
Il serait pas plus simple de mettre une barrière pour couper ton pré en 2 ?
2007-02-03 03:41:49 · answer #7 · answered by DonPedro SuperGolfeur 6 · 1⤊ 5⤋
il te reste 38 heures 30 pour faire tes devoirs d'ici dimanche minuit !
2007-02-03 03:28:46 · answer #8 · answered by Anonymous · 1⤊ 5⤋
Un metre cinquante exactement de longueur de corde (plus les CM necessaires pour faire les noeuds aux deux extremites). Mais il faut t'assurer aussi que le piquet est bien plante au milieu du bord
2007-02-03 03:29:01 · answer #9 · answered by Zorbek le Gras - Érudit orientaliste 5 · 2⤊ 7⤋
ont est pas a quelques metres près
2007-02-03 03:27:05 · answer #10 · answered by wolverine 4 · 1⤊ 6⤋