massimi e minimi!!!! aiuto!!!?

Question

come risolvo il seguente problema?
"trova 3 numeri reali positivi aventi somma a, tali che il loro prodotto sia massimo"
(indicare i 3 numeri con x, y, a-x-y)

non manca niente! è copaito così dal testo... è un esercizio di massimi e minimi assoluti

Answer 1

data la funzione f(x,y,z) =x*y*z
dobbiamo trovarne il massimo nell'insieme
{(x,y,z) tale che x+y+z=a}
Intanto eliminiamo una variabile ottenendo z= a-x-y
imponendo z>=0 ossia x+y<=a
A questo punto abbiamo la funzione
g(x,y) = (a-x-y)*x*y di cui vogliamo trovare il massimo

Fissiamo x
allora y<= a-x
z= a-x-y
g(x,y) = (a-x-y)*x*y = axy-x^2y-xy^2
dg/dy = ax - x^2 - 2xy
dg/dy è decrescente, va a 0 su
ax - x^2 - 2xy=0, ossia
y = (a-x)/2
Quindi fissato x, il massimo valore per g(x,y) si ha per y=(a-x)/2
Ossia, in tal caso:
g(x,y) = x*(a-x)/2 * (a-x- (a-x)/2) =
x * (a-x)/2 * (a-x)/2 = (x (a-x)^2)/4 = (x (x-a)^2)/4 =
x (x^2-2ax+a^2) / 4 = (x^3 - 2ax^2 + a^2x)/4
Dobbiamo trovare il max di questa funzione H
dH/dx = (3x^2 - 4ax + a^2)/4
dH/dx = 0 su
3x^2 - 4ax + a^2 = 0 ossia
x = (4a +- asqr(16-12))/6 = (4a+-2a)/6 = a (2+-1)/3
che va a 0 in x= a e x= a/3
Per x = a si ha ovviamente un minimo di g e lo scartiamo
la derivata 2a è
6x - 4a
che per x=a/3 è
2a-4a = -2a < 0
Quindi la funzione H ha un punto di massimo in x=a/3
per cui y= (a - x)/2 = (a - a/3)/2 = a/3
e z= a/3

Possiamo quindi concludere che il massimo si ha per
x= a/3, y=a/3, z=a/3


P.S.
Credo il risultato si possa generalizzare a n variabili la cui somma sia a ed il cui prodotto sia massimo.
In tal caso ciascuna delle n variabili deve valere a/n, ma ora non mi viene una dimostrazione veloce...

Answer 2

Devi calcolare, rispetto a x,y,z (dove z=a-x-y), il massimo della funzione g(x,y,z)=x*y*z sotto il vincolo posto da f(x,y,z)=x+y+z=a.
In pratica, calcolare il differenziale totale vincolato con il metodo Kuhn-Tacker.

Answer 3

massimo di quale funzione però?!!!

Answer 4

a=x+y+z
quella del prodotto nn l'ho capita


cmq rispondete in tanti a sta domanda, nn è stata mandata da answer

http://it.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=AtfqxNySUZKlOZeFp2xREqDwDQx.?qid=20070202112445AA14356