Est-ce que quelqu'un peut expliquer rapidement en vulgarisant un maximum la démonstration suivante (pour quelqu'un qui n'a pas fait math sup' math spé et qui ne capte rien aux ensembles) :
x = 0.99999999999999999... (avec une infinité de 9 derriere)
10x = 9.9999999999999...
10x = 9 + x
9x = 9
x= 1 en partant de x = 0.99999999999999...
Le raisonnement a l'air juste... C'est à cause de la deuxième ligne qu'on passe de x = 0.999999... a x=1 ?
2007-02-01 22:40:21 · 24 réponses · demandé par lvb440 3 dans Sciences et mathématiques ➔ Mathématiques
J'ajoute que je sais que y'a un moyen d'ecrire x,yyyyyyyyyyyy à l'infini mais que je ne m'en rappelle plus.
2007-02-01 23:23:10 · update #1
si, il y a une erreur: tu affirme que 10x = 9.9999....
si tu fait le calcul tu te rendra compte qu'il y a une petite marge d'erreur qui se 'cumule' à la 'fin' de la série de 9, mais tu néglige cette différence car elle est repoussée vers l'infiniment petit...
Autrement dit, 10 X n'est pas tout a fait égal a 9,99999....
Ce n'est pas très parlant comme raisonnement, désolé, je ne suis pas très fort en rédaction mathématiques
2007-02-01 23:00:56 · answer #1 · answered by iguane51 4 · 2⤊ 8⤋
En fait tu peux voir ce chiffre comme la limite de la suite suivante :
0,9999 (à l'infini) = 1-1/(10^n).
Lorsque n est infini, 1-10/(10^n) = 1
Soit
0,9999 (àl'infini)=1
CQFD
2007-02-02 06:53:24 · answer #2 · answered by Anonymous · 7⤊ 1⤋
Il n'y a pas grand chose à expliquer.
Le raisonnement est juste... Il n'y pas de feinte ou d'erreur cachée.
Et effectivement, il est reconnu que 0.99999999 (à l'infini)=1
2007-02-02 06:47:15 · answer #3 · answered by David 4 · 6⤊ 1⤋
Cette démonstration, bien que vulgarisée par un calcul "avec des petits points" pas très très rigoureux, est absolument exacte.
Elle repose sur une des propriétés fondamentales du développement décimal (mot qui fait savant, mais ça veut dire écrire un chiffre avec virgule) ; cette propriété est d'ailleurs son principal défaut.
. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
. Il n'y a pas unicité du développement décimal d'un réel.
. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
En fait, il y en a très exactement 2, celui qui semble "naturel" et celui avec des "9 à l'infini".
Exemple : un développement décimal de 2713/1000 est 2.713
mais un autre en est 2,71299999999999999999999999...
Piste pour une démonstration rigoureuse, pour les gens un peu matheux : le développement décimal est en fait une série ; on note (c'est très laborieux à écrire ici, désolée !! J'utilise les notations de Maple):
. x=Sum(a[n]/10^n),n=1..infinity
On montre que le terme général de cette série est majoré par 9/(10^n), terme général d'une série convergente ; puis on montre que sa limite (unique, forcément !!) admet deux développements différents.
2007-02-02 12:36:19 · answer #4 · answered by Lo 2 · 4⤊ 0⤋
Le raisonnement est juste et est lui même vulgarisé à travers les points de suspension qui devraient être mieux formalisés ans un raisonnement rigoureux.
Tout ce que montre ce raisonnement c'est que la représentation d'un nombre réel n'est pas unique. 1 peut s'écrire de différentes façons.
2007-02-02 07:14:16 · answer #5 · answered by Serge K 5 · 4⤊ 1⤋
BB, justement, on ne prend pas"N'importe quel nombre de 9" après la virgule... On prend une infinité de 9 après la virgule, et là est toute la différence, on est dans le cas d'une limite, ce qui nous permet d'écrire que cela vaut 1.
2007-02-02 12:25:59 · answer #6 · answered by Anonymous · 2⤊ 0⤋
La bonne démonstration est
0.999999.....=somme (sur n de 1 à l'infini) de 9*10^(-n)
=(9/10)*1/(1-1/10))=1
2007-02-02 10:34:50 · answer #7 · answered by jojolapin_99 7 · 3⤊ 1⤋
Ton raisonnement est rigoureusement juste pour un matheux avec
0,9999... = sigma(9.10^k,k=1,+ infini).
Mais le matheux peut le démontrer autrement.
2007-02-03 14:14:04 · answer #8 · answered by Nico 5 · 1⤊ 0⤋
SI l'on admet que TOUT REEL ADMET AU MOINS UNE écriture décimale, alors on ne peut définir ladite écriture décimale que sous la forme d'une SERIE c'est-à-dire comme la somme infinie (donc une limite) de la forme :
x = somme de n jusqu'à l'infini de an * 10^-n
En effet, les nombre irrationnels, et transcendants par exemple ne dispose d'une écriture décimale QUE DANS LE CADRE DE CETTE DEFINITION.
Le réel x s'écrit alors x=0.a1a2a3a4a5a6a7a8a9....
ALORS il apparaît clairement que (mathématiquement trival) :
x= somme de n=1 à l'infini de 9 * 10^-n
=> x=1
On pourra alors écrire x=0.9999999999... (écriture approximative) d'où l'égalité citée.
CONCLUSION : IL N'Y A PAS D'UNICITE de l'écriture décimale dans R (ensemble des réels).
(dire que 1<>0.999999999.... est strictement équivalent à dire que certains réels n'ONT PAS d'écriture décimale. Par exemple le nombre pi. Or c'est inexact.)
Quelques rappels sur les séries :
si vn = somme de 1 à n des un (définition d'une série)
vn série convergente (géométrique de raison 1/10<1)
alors on peut dire que : lim (10 * vn) = 10 * lim (vn)
donc :
10x=lim (10 * somme de 1 à n de 9.10^-n)
= lim (somme 1 à n de 90.10^-n)
= lim (somme 0 à n-1 de 9.10^-n)
= lim (9 + somme 1 à n-1 de un)
= lim (9 + v(n-1))
or lim (9 + v(n-1)) = 9 + lim (v(n-1))
car si vn est convergente ce qui est le cas v(n-1) converge aussi et :
lim (v(n-1))=lim(vn)=x
donc 10 * lim(vn)=9+lim(vn)
OU 10x = 9 + x => x=1=lim(vn)
Avec les bonnes notations mathématiques.
Le calcul est donc correct, LE RAISONNEMENT EST JUSTE, même si les notations sont (peut-être) discutables.
2007-02-02 16:46:17 · answer #9 · answered by Francelibre 5 · 1⤊ 0⤋
Le raisonnement est juste, tu peux aussi le faire avec par exemple x=0,3333333333... qui est bien sûr égal à 1/3:
10x=3+x donc 9x=3 donc x = 1/3 cqfd.
Tu peux aussi voir que la différence entre 1 et ton x=0,9999.. est nulle puisque inférieure à tout réel y, et donc que x=1.
2007-02-03 06:32:09 · answer #10 · answered by Starless 2 · 0⤊ 0⤋
La démo est juste. C'est parce qu'il y a une infinité de 9 après la virgule. Le symbole est un trait horizontal au dessus du chiffre qui se répète.
2007-02-02 08:58:10 · answer #11 · answered by Anonymous · 1⤊ 1⤋