Grade vergessen aber benötigt: Wie berechnet man nochmal den Tiefpunkt einer beliebigen Funktion?

Question

Was muss 0 sein (die Ableitung?), was kleiner 1 oder so?
Bräuchte das grad...

ich mein was sind notwendige und hinreichende vorraussetzung?

das ist schon ein jahr her, und ich weiß es grade nimma!

GENAU, dankeschön!

Answer 1

Die erste Ableitung muss 0 sein
f'(x) = 0
und löst entsprechend auf.
Dann setzt du diesen Wert in die zweite Ableitung ein.
Bei
f''(x) > 0 --> Minimum (d.h. Tiefpunkt)
f''(x) < 0 --> Maximum (d.h. Hochpunkt)

Dann eben noch den x-Wert in die eigentliche Funktion einsetzen und voilá, du hast alles für den Punkt.

Das reicht für viele Funktionen aus, passt aber nicht immer, wie man bei f(x) = x^4 sieht: da gibt es einen Tiefpunkt bei (0|0), aber f''(0) = 12*0^2 = 0, damit weder kleienr noch größer.Wenn du Pech hast, brauchst du weitere Bedingungen - und bei ganz viel Pech reichen die auch nicht:

Du leitest das ganze solange ab, bis du einmal NICHT 0 an der Stelle x herausbekommst. Das sei dann die n-te Ableitung - die erste Ableitung, bei der man bei der Stelle x nicht null erhält. Ist n gerade, so gilt wieder: Ist der Wert > 0 ist es ein Minimum, ist der Wert < 0 ein Maximum. Ist n ungerade liegt an der Stelle kein Extrempunkt vor.
(Das man die Funktion überhaupt so oft differenzieren kann, davon gehen wir mal stillschweigend aus ;))

Alternativ gehts auch über Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung an der Stelle: von Plus nach Minus -> Maximum (es geht wieder runter) und umgekehrt.

Hoffentlich ist das ungefähr verständlich? Ohne einen Formeleditor ist das gar nicht so einfach!

Answer 2

1. Ableitung Null setzen, den erhaltenen x-Wert wird in die Ursprungsfunktion eingesetzt. Damit hast du die Lage der Extremstelle.
2.Danach prüfen, ob es ein lokales Minimum(Tiefpunkt) ist, indem Du in die zweite Ableitung den x-Wert einsetzt. Ist der resultierende f(x) -Wert > 0, dann liegt ein Minimum vor.

Answer 3

@Schröder. Wie willst du bitteschön die bitteschön die Ableitung einer nich diferenzierbaren Funktion bilden.
Natürlich gilt das vorjher gesagte nur für differenzierbare Funktionen oder deren Ersatzfunktionen so denn eine Existiert.

Answer 4

Vieles von dem Gesagtgen gilt nur, wenn es um eine dort differenzierbare Funktion handelt. Gegenbeispiel: y = abs(x)

Answer 5

falls du das lokale minimum meinst:

1. ableitung null, zweite ableitung grösser 1