econometria(equazione più matematica)?

Question

Essendo Bi= (Txi-Σxt)/[TΣ(xt-xmedio)al quadrato] dimostrare che la ΣBi=0 e che la ΣBiXi=1

Dove xi è x con pedice i; xt è x con pedice t; Σ sta per sommatoria
che va da uno a T, dove T è il numero di osservazioni.

Answer 1

Come già detto nell'altra risposta:

ΣBi =
Σ (Txi-Σxt)/[TΣ(xt-xmedio)al quadrato] =
(T/[TΣ(xt-xmedio)al quadrato] ) * Σ (xi- 1/T Σxt)
Esaminiamo il secondo fattore:
Σ (xi- 1/T Σxt)
questo è uguale a
Σ xi - 1/T Σ (Σxt))
osserviamo che in Σ (Σxt)) stiamo sommando
(Σxt) esattamente T volte, quindi

Σ xi - 1/T Σ (Σxt)) =
Σ xi - 1/T * T * Σxt=
Σ xi - Σxt= 0

Quindi
(T/[TΣ(xt-xmedio)al quadrato] ) * Σ (xi- 1/T Σxt)=0
essendo 0 il suo secondo fattore.

Calcoliamo ora
ΣBi xi =
Σ xi(Txi-Σxt)/[TΣ(xt-xmedio)al quadrato] =
Σ (Txi^2-xiΣxt)/[TΣ(xt-xmedio)al quadrato] =
1/[TΣ(xt-xmedio)al quadrato] * Σ (Txi^2-xiΣxt)

Esaminiamo il secondo fattore, ossia Σ (Txi^2-xiΣxt)=
Σ (Txi^2-xiΣxt ) =
TΣxi^2 - Σ xiΣxt =
portiamo fuori dalla doppia sommatoria Σxt essendo costante
TΣxi^2 - Σxt Σ xi =
TΣxi^2 - (Σxt)^2 =
TΣxi^2 - T^2 (((1/T)Σxt)^2 =
T(Σxi^2 -T(ximedio)^2

Quindi
1/[TΣ(xt-xmedio)al quadrato] * Σ (Txi^2-xiΣxt) =
1/[TΣ(xt-xmedio)al quadrato] * T(Σxi^2 -T(ximedio)^2) =

(Σxi^2 -T(ximedio)^2 ))/[Σ(xt-xmedio)al quadrato]

In realtà il numeratore ed il den. sono uguali infatti
Σ(xt-xmedio)al quadrato=

Σ (xt)^2- 2xt * xmedio + (xmedio)^2)=
Σ (xt)^2 - 2xmedioΣxt + Σ(xmedio)^2 =
Σ (xt)^2 - 2T(xmedio)^2+ T(xmedio)^2 =
Σ (xt)^2 - T(xmedio)^2

Quindi il rapporto è UNO

Fine della dimostrazione.