SISTEMI DINAMICI - CONTROLLI: Questa è difficile: dimostrazione: il tempo di assestamento al 5% in Bode?

Question

Chi mi sa dimostrare perchè, a partire dalla risposta indiciale, e ricavando che ( z = zita greca , w = omega, sqrt = radice quadrata, | = modulo)

| [1/sqrt(1-z^2)] exp(-zwt) sen [ w sqrt ( 1 - z^2) + arccos (z)] | < 0,05 ,

si ricava che il tempo di assestamento al 5% della risposta indiciale è:

ta5 < - 3 / (wz)

Chi ci riesce, una laurea in ingegneria e dieci puntarozzi!!!!CIAOOO...

Answer 1

Non so se sia esattamente quello che intendi tu, ma stai parlando di un moto dell'oscillatore smorzato per ingresso a scalino unitario, e la z è lo smorzamento?
io il Ta sono abituato a farlo al 99% o al 1% che dir si voglia...comunque è la stessa roba...
la formula che tu hai sctitto è quella della risposta nel dominio del tempo,(o meglio la differenza perchè la mia ha un 1- quello che hai scritto tu dentro alle quadre, e infatti tu scrivi 0,05 mentre io 0,95) ma se ci badi essendoci la parte del seno la puoi mandare via, perchè così ottieni l'equazione dell'esponenziale che inviluppa la tua risposta...e visto che il seno non vale mai più di 1, se la curva che inviluppa la risposta entra nella zona +-5%...allora anche la risposta deve essere definitivamente dentro...
quindi poni : modulo*(1-exp(-zwT))=0.95*modulo
andando avanti.... e(-zwT)=0,05 ;
zwT= ln(20) ;
T= ln(20) / (zw);
T= 2,995 / (z w)
l'ultimo uguale è con l'ondina perchè è una approssimazione. NB: 2,995 è evidentemente il 3 della tua formula finale....!!

se al posto del 5% facevi l'1% al posto di 0,95 c'era 0,99; al posto di 0,05 c'era 0,01; e al posto del 20 nel logaritmo c'era 100; e al posto di 2,995 c'era 4,6...