¿Cuándo un cuadrilátero se puede inscribir en una circunferencia?

Question

Cuáles son las características que debe cumplir un cuadrilátero para poder ser inscrito en una circunferencia.
Muchas gracias.

He leido la respuesta de Ricardo Torreiro y sabia que el teorema que dice: "Los ángulos opuestos de los cuadriláteros en los círculos son iguales a dos rectos" (Euclides III.22). Pero no estoy seguro si el recíproco es válido, si inscribimos un cuadrilátero en una circunferencia ya se puede decir que sus lados opuestos suman dos rectos. Pero ¿si encuentro un cuadrilátero cuyos lados opuestos sumen dos rectos, implica que lo podré inscribir en una circunferencia?, en otras palabras, ¿es válido el recíproco del teorema?.

Ahhh! y porfavor abandonden la idea de que tiene que ser un cuadrado, puede ser perfectamente cualquier cuadrilátero (figura de cuatro lados y cuatro ángulos).
Gracias.

Ricardo te agradezco mucho que te hayas tomado la molestia de tratar de responderme lo que planteo en la acotación. Y no quiero ser pesado ni nada por el estilo, pero por lo visto estudias matemática y si es así vas a entender por qué pienso que no has respondido mi pregunta. Esta sera mi última acotación (para no ser tan pesado) y te digo que estoy muy agradecido que te hayas tomado el trabajo para responder mi pregunta. Razonemos consecuentemente, vos me decis que Euclides dio el criterio para inscribir un cuadrilátero. Yo digo que no estoy seguro. Yo veo una condición "necesaria" pero no "suficiente" en que: la suma de los ángulos opuestos sean un llano. Entonces la única forma de saber si es "suficiente" es demostrando que "Sí los ángulos opuestos de un cuadrilátero suman dos rectos, entonces, éste se puede inscribir en una circunferencia". Si demostramos eso, estarás demostrando que es condición "necesaria y suficiente" entonces el recíproco es válido. Muchas gracias nuevamente.

Para omartolosa44:
Aunque no son de mi agrado las respuestas con soberbia, pienso que cada persona debe hacerse cargo de lo que dice por lo que te voy a pedir que DEMUESTRES tu forma de postular el teorema de Euclides en forma adecuada.

En realidad esa demostración es lo que pedí en mi última acotación a Ricardo Torreiro. Y con una demostración así la pregunta estaría absolutamente respondida.

Answer 1

La condición para que un cuadrilátero convexo sea inscriptible en una circunferencia es que sus ángulos opuestos sean suplementarios.

Simple, sencillo, nada más. Ten cuidado porque en este foro han dicho enormidad de barbaridades geométricas que nada tienen que ver con el criterio que te he dado.

La demostración se hace por arco capaz o por propiedades de los ángulos inscriptos. Saludos

Si te queda alguna duda al respecto te ruego que revises el tomo 1 de Geometría Métrica de Pedro Puig Adam en donde no sólo vas a encontrar que lo que te dije es cierto sino que vas a ver tantos teoremas que ni siquiera te imaginabas.
De todos modos, viendo la acotación que has hecho hace 17 horas, si razonaras consecuentemente te darías cuenta de que con tu teorema extraído de Euclides tenés el criterio encubierto de la inscripción de un cuadrilátero convexo en una circunferencia. Pensá esto: Si Euclides te asegura que los ángulos opuestos de los cuadriláteros inscriptos suman 2 rectos, cuando vos quieras inscribir por decir algo, un romboide, en una circunferencia te vas a topar con la imposibilidad, ya que si lo pudieras inscribir, no se cumpliría lo que dice Euclides.
Saludos y gracias por hacerme trabajar

Última participación de Ricardo Torreiro:
Estimado amigo: Me parece muy bien que dudes porque es la mejor forma de aprender matemática. El que acepta "dogmas de fe" más que matemática estará estudiando teología...
Retomemos ahora sí, en serio. Tu pregunta original había sido "¿Cuándo un cuadrilátero se puede inscribir en una circunferencia? Caracterísitcas". La cual fue respondida categóricamente con "Cuando sus ángulos opuestos sean suplementarios". La demostración del criterio no te la di puesto que ¡no la pediste! y me limité a contestar correctamente. Luego mencionaste un teorema de Euclides que en mi vida lo había oído mencionar, pero que no dudo de que estás diciendo algo cierto. Es así que si razonaras consecuentemente con el teorema que mencionaste, tendrías el criterio en tus manos y no hubieras tenido que hacer la pregunta a este foro. Yo jamás dije que la demostración era por un supuesto "Teorema de Euclides", sino que dije que se demostraba por propiedades de los ángulos inscriptos o por arco capaz.
La demostración que yo manejo sería muy difícil trancribirla aquí sin editor de ecuaciones ni cabri para hacer los dibujos, pero trataré de comentarte cómo se hace.
1) Tomá una circunferencia y marcá su centro "o" e inscribile un cuadrilátero cualquiera "abcd"
2) Vamos a considerar los ángulos aôc, el cóncavo aôc y el adc.
3) Recordemos que los ángulos inscriptos en una circunferencia son congruentes con la mitad de su ángulo central conrrespondiente.
4) Se plantean las siguientes relaciones:
aôc = 2abc
conc aôc = 2 adc
5) Sumamos miembro a miembro
1 giro (360º) = 2(abc+adc)
6) Simplificamos
2 rectos (180º) = abc + adc

Lo que significa que los ángulos opuestos son suplementarios. Más claro, echale agua bendita.
De todos modos, te sugiero que revises tus razonamientos sobre las condiciones necesarias y suficientes poniéndote muchos ejemplos, porque tenías la respuesta ya contigo y sin embargo tuviste la necesidad de hacer la pregunta.
Un abrazo y seguí así que vas bien!!

Answer 2

que sea un cuadrilátero equilátero, o sea, con sus cuatro lados iguales

Answer 3

no creo

Answer 4

La respuesta es: siempre. La carácteristica es ser cuadrilatero. Tener los cuatro lados igualitos.

Answer 5

Como de costumbre veo la lamentable tendencia de más de uno a responder "pur le gallerìe" o dicho en cristiano básico "al divino botón".

Comparto una de las respuestas, solo que yo postularía así el teorema de Euclides:
"Para todo cuadrílátero cuyos ángulos opuestos sumen 180º existe una circunferencia en la que puede ser inscripta".

Answer 6

http://200.109.120.2/mm/matematica3/fasciculo2.pdf

En esta dirección creo que vas a encontrar la respuesta. Ojalá te sirva

Answer 7

Ricardo Torreiro tiene tpda la razon, todo lo demas son mentiras.

Answer 8

Esto se puede para el cuadrado. Se trazan las dos diagonales y en su punto de cruce se pone el eje del compas, el lado de la mina se pone sobre cualquiera de los 4 vértices y se realiza el giro, de esta manera tiene el círculo alrededor del cuadrilátero.

Answer 9

Siempre y cuando el cuadrado tenga como eje de simetria una distancia igual al diametro de el circulo. Es decir que del punto de una esquina a el otro extremo contrario mida exactamente igual que el diametro del circulo.

Answer 10

cuando la daigonal del cuadrilátero sea igual al diaémtro del cíiculo multiplicado por raíz cuadrada de dos