come faccio a provare che n!?

Question

n!^2>n^n per ogni n dai numeri naturali

Answer 1

Così su due piedi non riesco a darti una buona dimostrazione pero:....
5! * 5! lo puoi scrivere così:

1*2*3*4*5 *
5*4*3*2*1

Se, sfuttando le proprietà di associatività e commutatività della moltiplicazione, moltiplichi tra loro i numeri della fila di sopra con quelli della fila di sotto ottieni

5*8*9*8*5 che è evidentemente più grande di 5^5.

Credo che la strada da seguire, per una dimostrazione completa, sia questa.
Buon lavoro.
Se mi viene qualche idea migliore la aggiungo alla mia risposta.

Answer 2

L'idea dell'amico cblu qui sopra di me è grandiosa!
(n!)^2=
n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1*
1*2*3*...*(n-2)*(n-1)*n
accoppiamo i termini in verticale:
(n*1)*((n-1)*2)*... *(2*(n-1))*(1*n)
ora ovviamente
n*1=n>=n
inoltre
(n-1)*2=2n-2>=n per n>=2 (è una semplice disequazione)
e più in generale
(n-k+1)*k=k*n-k^2+k>=n per n>=k (di nuovo è una semplice disequazione)
ma n>=k vale per tutti i k che compaiono nella formula del fattoriale!!
Quindi tutti gli n fattori che si trovano in
(n*1)*((n-1)*2)*... *(2*(n-1))*(1*n)
sono maggiori o uguali di n
e perciò quel prodotto è >=n^n, CVD.

Answer 3

Osservato che il segno di > non va bene ma ci vuole il >=, proviamo a dimostrare che
n!^2>=n^n
ossia (facendo il log di ambo i membri)
2 logn + 2log(n-1) + 2log(n-2)...+ ...log2>= nlogn
ossia (dividendo ambo i membri per 2n)
1/n (logn + log(n-1) + log(n-2)...+ ...log2) >= 1/2 logn

consideriamo ora la funzione logkx, l'integrale di logkx =
integ.( D[x]logkx )= xlogkx - integ (x * k/x) = xlogkx - kx
Quindi l'integrale tra 1/n e 1 di lognx è pari a
(xlognx-nx) calcolato tra 1/n e 1 =
1/nlog1 - 1 - logn + n =
n -logn -1


d'altronde considerando i rettangolini
(1/n,2/n) di altezza log2
(2/n,3/n) di altezza log3...
la superfice dell'unione dei rettangolini sarà proprio
1/n (logn + log(n-1) + log(n-2)...+ ...log2)
e tale superfice contiene, essendo logx crescente, la superfice di
lognx tra 1 e n.
Quindi
1/n (logn + log(n-1) + log(n-2)...+ ...log2) >=
integ. (lognx) tra 1 e n =n -logn -1

abbiamo quindi provato che
1/n (logn + log(n-1) + log(n-2)...+ ...log2) >= n -logn -1

d'altronde è facile provare che
n -logn -1 >= 1/2 logn
ossia
n -1 >= 3/2 log n
ossia
e^(n-1) >= n^(3/2)

Dato che n compare all'esponente nel primo e alla base nel secondo la disequazione sarà vera da un certo n in poi.
Per n=2
e^1 < 2^(3/2)
Per n=3
e^2 > 3^3/2 ve
Quindi da 3 in poi vale.

Abbiamo quindi provato che per ogni n>=3 :
n!^2 >= n^n
siccome per n=1 e n=2 la diseguaglianza è verificata (basta sostituire per osservarlo) la dimostrazione è completa.

Answer 4

1!^2=1^1 quindi la tua proposizione è falsa

anche 2!^2=2^2 e in 0!^2=0^0...

Se tu avevi ≥ è un'altra storia.

X Gaetano e Pokipsy: la dimostrazione di Gaetano non vale per tutti n ma solo per gli N \ {0} in quanto hai diviso entrambi i membri per 2n (e per farlo devi porre 2n diverso da zero e quindi n diverso da zero). Comunque per completarla basta considerare il valore zero a parte. Anche quella di Pokipsy non include lo zero ma solo perché non era possibile considerarlo. In ogni caso è un caso banale. Vi ricordo che l'insieme N negli assiomi di Peano è considerato come l'insieme di 0 e tutti i suoi successivi.

Answer 5

NON E' VERO SECONDO ME