Wie berechne ich den Winkel eines Zacken in einem fünfzackigen Stern?

Question

Bei einem ganz normalen, regelmässigen Stern mit 5 Ecken, bei dem der längste Radius zweimal dem des kleinsten entspricht (also zuerst Strecke Mittelpunkt-Zackenspitze und dann Strecke Mittelpunkt-Zackenende -dort wo sih die beiden Zacken treffen), wie gross ist da der Winkel in jeder Zacke? Wovon hängt das ab? Was passiert, wenn sich das Verhältniss der beiden Eckradien verändert?

Answer 1

Die Aufgabe löst du durch zweimalige Anwendung des Cosinussatzes

http://de.wikipedia.org/wiki/Cosinussatz

Wir betrachten zunächst nur das Dreieck, welches von einer halben Zacke gebildet wird. Die Strecke vom Mittelpunkt des Kreises zum Zackenende soll a heißen, die Strecke vom Mittelpunkt des Kreises zur Zackenspitze soll b heißen. Die Strecke vom Zackenende zur Zackenspitze heißt dann c. Der Winkel zwischen a und b heißt gamma. Der Winkel zwischen b und c heißt alpha.

Der von dir gesuchte Winkel ist 2*alpha.

Du kennst die Werte für b und gamma. a kannst du beliebig wählen

b=2a
gamma=360/10

Mit dem Cosinussatz rechnest du zunächst c aus.

c^2=a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(gamma)

d.h. c ist gerade die Wurzel daraus

c=sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(gamma))

Aber wir suchen ja den Winkel alpha. Der Cosinussatz für den lautet

a^2=b^2 + c^2 - 2*b*c*cos(alpha)

Das lösen wir auf nach cos(alpha)

cos(alpha)=(a^2 - b^2 - c^2) / (-2*b*c)

setzen c^2 bzw. c ein durch die oben ermittelten Formeln

cos(alpha)=(a^2 - b^2 - a^2 - b^2 + 2*a*b*cos(gamma)) / (-2*b*sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(gamma)))

Vereinfachen und Kürzen durch -2b ergibt

(b -a*cos(gamma)) / sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(gamma))

Da dieser Wert ja nun cos(alpha) ist, wir aber ja den Wert 2*alpha suchen müssen wir noch den Arcuscosinus anwenden.

2*alpha=2*arccos((b - a*cos(gamma)) / sqrt(a^2 + b^2 -2*a*b*cos(gamma)))

Das ist die allgemeine Formel. Jetzt setzt du noch die bekannten Werte für b und für gamma ein.

2*alpha=2*arccos((2*a - a*cos(36)) / sqrt(a^2 + 4*a^2 - 2*a*2*a*cos(36)))

Herausziehen von a^2 aus der Wurzel

2*alpha=2*arccos((2*a - a*cos(36)) / a*sqrt(1 + 4 - 4*cos(36)))

Kürzen des Bruchs durch a

2*alpha=2*arccos((2 - cos(36)) / sqrt(5 - 4*cos(36)))

= 52,5353971

Ich habe alle Winkel im Grad-Maß, nicht im Bogenmaß gerechnet, weil sich das hier leichter aufschreiben lässt. Wenn du das auf dem Taschenrechner mit den Winkelfunktionen cos und arccos nachrechnest, musst du das beachten.

Answer 2

Du hast im Inneren ja ein regelmäiges Fünfeck. Die Winkel betragen dabei jeweils 108°, wie ChacMool schon angeführt hat.

Das folgt aus der Formal für die Innenwinkelsumme für Polygone:
N = Anzahl der Ecken
Winkelsumme = (N-2) * 180°

Das gilt für alle, auch unregelmäßige Polygone. Deswegen kann Du eine Seite des Fünfecks durch den Stenzacken ersetzen. Dann hast Du ein Viereck mit der Innenwinkelsumme von 360°. Da drei Ecken mit 108° vorhanden sind, bleibt für den Winkel in der 36°.

360° - 3 * 108° = 36°

Answer 3

Das regelmäßige Fünfeck in Vollkreis (360°) hat 108°. Und daraus kannst du beliebig viele regelmäßige Sterne mit 5 Zacken konstruieren.
So ist die Frage also nicht zu beantworten.
Ich sehe gerade die einschränkenden Bedingungen. Irgendwas stimmt bei meinen Überlegungen noch nicht. Werde es ergänzen, falls mir was Gescheites einfällt.

Answer 4

für den Winkel der Spitzen 360Grad durch 5. 360 grad ist ja die volle Winkelsumme die wird dann auf 5 aufgeteilt.

Bei Sternen die unterschiedliche Spitzen haben würde ich Zeichnen und dann messen da die Berechnung sehr zeitaufwendig ist