Come trovare l'equazione di una superficie che "meglio" approssima una serie di punti?

Question

Ho circa dieci punti.
La superficie che sto cercando ha queste caratteristiche:

1 - sezioni lungo un piano = rette
2 - sezioni lungo un piano perpendicolare al precedente = parabole

Non sto cercando l'equazione della superficie che passa ESATTAMENTE per i 10 punti, ma quella che "meglio" - secondo certi criteri - ne approssima l'andamento. Qualcosa come il metodo dei minimi quadrati.... Esistono degli strumenti di calcolo per fare questo?

Answer 1

hai detto bene il criterio dei minimi quadrati. In ogni caso esistono diversi criteri, dipende da te, se devi usarne uno in particolare. Ad esempio puoi usare il criderio della minimizzazione dell'error quadratico medio. Cioè, nel caso monodimensionale (che poi va esteso a più dimensioni) scegliere un polinomio in modo tale che l'integrale del quadrato del modulo della differenza tra questo polinomi e LA TUA funzione sia minimo. Generalmente questi problemi si risolvono proprio scegliendo degli opportuni polinomi. Prenditi un bel libro di matematica, è riduttivo su internet

Answer 2

il metodo più facile a mio avviso è quello di calcolare la retta di regressione che rende minimo lo scarto squadratico tra i dati....

in pratica trovi la retta che rende minima la differenza tra ogni punto dei dati e il reale punto in cui passa la retta.

Questa però è statistica allo stato puro! Tu hai tutti i punti di coordinate x;y

La retta di regressione ha equazione:

Y=a+bx +E in cui E è l'errore

il coefficente "b" è dato dal rapporto tra Codevianza X;Y e Devianza X. Quindi è dato dalla sommatoria di ((x - Xmedio)x(y-Ymedio)) tutto fratto la sommatoria di (x-Xmedio)^2

le x e le y piccole sono quelle dei dieci punti dei dati!

il coefficente "a" invece è dato da Ymedio - coefficente "b" che moltiplica Xmedio.

Ora che sai quanto valgono il coefficente "a" e "b" puoi sostituire nell'equazione Y=a+bx +E tutte le x dei tuoi dati, e per differenza trovare quanto vale ogni E, ossia lo scarto dal punto vero al punto dei dati.

Se poi vuoi vedere se il modello è buono o no, puoi calcolare l' Rquadro, che è Covarianza(X;Y) al quadrato / Varianza(X) per Varianza(Y), che sono dati che dovresti già avere calcolato per tutti i calcoli sopra....più il valore di Rquadro si avvicina al 100% più il modello è buono!

ciao!