Lorsqu'on parle de la probabilité qu'un entier soit premier, de quel espace probabilisé s'agit-il?

Question

Je me doute que l'univers doit être N, l'ensemble des évènements P(N), mais la probabilité?
Il n'y a pas de probabilité "naturel" dans (N, P(N)). Alors?

Answer 1

Merci Arnauld pour ton raisonnenement, mais je trouve tout ça incompréhensible!

Answer 2

C'est toujours dans un sous-ensemble fini de N qu'on se place et dans ce cas la probabilité est uniforme.

Answer 3

Il n'y a pas besoin de mettre une probabilité sur N quand tu cherches la probabilité qu'un entier soit premier, car N est dans ce cas l'espace d'arrivée des variables aléatoires !

Exemple général :
Soit n une variable aléatoire allant de R muni de sa tribu borélienne et d'une mesure de probabilité µ, dans l'ensemble IN muni de la tribu à quatre éléments : { vide , P , Q , IN }
où : P = ensemble des nombres premiers
Q = ensemble des nombres non premiers
La probabilité que n soit premier est alors µ(n^-1(P)), la mesure de l'image réciproque de P par n.

Ensuite, au cas par cas tu peux avoir à mettre des mesures sur des parties de IN, comme dans l'exemple suivant :
Si tu veux savoir la probabilité qu'un nombre entre 101 et 200 soit premier, ou plutôt si tu veux l'écrire proprement,
l'ensemble de départ est alors S = {101, 102, ..., 200},
la tribu est l'ensemble de toutes les parties,
et la mesure de probabilité est l'application qui à une partie de S associe son cardinal divisé par 100 (intuitivement la proportion qu'il représente dans l'espace de départ)

Ainsi
µ({102}) = 1/100,
µ({nombres pairs de S}) = 50/100 = 1/2

La variable aléatoire est alors... l'application identité!
de S muni de la tribu de toutes les parties, dans S muni de la tribu de tout à l'heure, {vide, P, Q, S}
où P = {nombres premiers de S}

La probabilité qu'un nombre entre 101 et 200 soit premier est alors µ(Id^-1(P)) = µ(P) puisque Id est l'identité.
Et µ(P) est le nombre de nombres premiers entre 101 et 200, divisé par 100 (le nombre total de nombres entre 101 et 200).

Ceci se généralise à toute question de la forme "quelle est la probabilité qu'un nombre soit premier" sachant qu'il vérifie telles et telles conditions, à condition qu'il n'existe qu'un nombre fini d'entiers vérifiant ces conditions. Sinon la mesure µ ne marche plus comme on l'a définie puisqu'on a divisé par le cardinal de l'ensemble tout entier.

On peut toujours au cas par cas se ramener à une écriture propre du problème, même quand l'espace est infini, mais c'est à faire au cas par cas, et de toute façon le calcul intuitif des probabilités convient très bien.

Answer 4

En effet, l'univers est l'ensemble N. La définition des nombres premiers et plus particulièrement du PGCD n'est valable que pour N.