Quesito matematico-logico?!?

Question

Chi sa dirmi come si risorve questo quesito matematico?
La mia prof di matematica a lezione non spiega un xxxxx!Sui libri consigliati per l'esame sono tutto tranne che inerenti alle domande che poi ci troviamo nei compiti...Così provo ad affidarmi a voi? Cerco un "esperto matematico"(più di me ci vuol poco!!) che sappia dirmi:

SCRIVERE LA TABELLA DI Z3(il numero 3 è scritto più piccolo,a mo' di "apice") RISPETTO ALLA SOMMA E DI [Z3-0] RISPETTO AL PRODOTTO. DESCRIVERE LA STRUTTURA DI QUESTI INSIEMI. TROVARE UN ALTRO INSIEME ISOMORFO A (Z3, +)

Qualcuno può aiutarmi?!
Grazie!

Siete stati molto carini ed esaustivi entrambi!Unico problema: sono una ignorante completa in matematica!Per cui ora mi ingegnerò nel cercare di capire come avete fatto a giungere a quei risultati sulla base delle vostre risposte..però posso chiedervi come avete fatto a realizzare la tabellina?Nel senso...io pensavo che bisognasse fare 1+0=1; 1+1=2....ma dove c'è 2+1 voi date 0?Posso sapere come mai?!

Answer 1

Per ora non ho tempo di darti una risposta completa, ti anticipo solo:
Le tabelline sono
Per la somma in Z3
+ 0 1 2
+++++++++
0+ 0 1 2
1+ 1 2 0
2+ 2 1 0

Per il prodotto in Z3-0
+ 1 2
+++++++++
1+ 1 2
2+ 2 1


Sono entrambi gruppi abeliani.
Sono rispettivamente isomorfi a qualsiasi di uguale dimensione...ossia al monoide generato da a...
ossia <1, a, ..a^N> ove a^N*a =1

Un generatore di (Z3,+) è 1.
Il generatore di (Z3-0, *) è 2.
(Z3-0, *) è isomorfo a (Z2,+)
mediante la funzione che trasforma:
1 di (Z3-0, *) in 0 di Z2
2 di (Z3-0, *) in 1 di Z2

P.S.
Perchè nell'aritmerica a modulo 3 il 3 è congruente con lo zero.
Infatti non si dovrebbe scrivere 0 ma [0] intendendo l'insieme dei
{0+3k}, k appartenente a Z
[1]= {1+3k}, k appartenente a Z
[2]= {2+3k}, k appartenente a Z
Ovviamente in quest'ottica [0]=[3] ma i numeri modulo 3 (o n) si rappresentano con il numerino di quell'insieme contenuto tra 0 e 2 (n-1)
Ecco perché invece di scrivere [3] scriviamo [0], omettendo sempre le parentesi quadre!

Answer 2

Tabella rispetto alla somma di Z3

+ | 0 1 2
-----------
0 | 0 1 2
1 | 1 2 0
2 | 2 0 1


Tabella rispetto al prodotto di Z3\{0}

* | 1 2
---------
1 | 1 2
2 | 2 1

Sono entrambi gruppi abeliani, ogni elemento ha l'inverso (o l'opposto a seconda del gruppo).
Il gruppo Z3 è l'unico di ordine 3
Il gruppo Z3/{0} è isomorfo al gruppo Z2.
Al momento non mi viene altro da dirti.

Ciao!!!
Lulisja