Résoudre X² - 11*X = Y² avec X,Y entiers ?

Question

Bonjour,

Je cherche l'ensemble des solutions de l'équation :
X² - 11*X = Y² avec X, Y entiers.

Est-il egalement possible de résoudre le cas général :
X² - Z*X = Y² avec X, Y, Z entiers ?

Answer 1

Tu veux que X(X-11) soit un carré parfait. Donc une solution est X=36 et Y =30. Sinon...les facteurs communs à X et (X-11) ne peuvent être que 1 et 11. Si 11 est un facteur commun
soit X=11P. On a alors X-11= 11 (P-1). Or P(P-1) ne peut jamais être un carré et donc 11^2 P(P-1) non plus. la seule solution est que
X et X-11 soient tous les deux des carrés et comme 11 est premier, la seule solution pour a^2 -b^2 = 11 est a+b= 11 et a-b=1. On retombe sur la solution précédente. C'est la seule.

Answer 2

Euh, non c'est pas la seule solution, il y a aussi X=0 et Y=0...

Answer 3

N'alors:

X² - 11*X = Y²
(X-11/2)²-(11/2)²=Y²
(X-11/2)²-Y²=(11/2)²

et suffit de faire un changement de repère X'=X-11/2 pour avoir

X'²-Y²=a²

qui est l'équation d'une hyperbole équilatere (axes perpendiculaires), demi-distance focale a=11/2.

Si le mot 'hyperbole' te dit rien, pense à y=1/x. Sinon,

http://fr.wikipedia.org/wiki/Hyperbole_%28math%C3%A9matiques%29

Est ce que ca marche avec Z? ben oui, tu refais le meme calcul et ça te donne (X-Z/2)²-Y²=(Z/2)²

vala.

Answer 4

ca fait l'equation d'un cercle de rayon 0... autant dire que si je ne m'abuse, y'a une infinité de solution...

Answer 5

Avec le théroeme de bézout tu devrais t'en sortir ... seulement ça marche avec X et Y premier entre eux. Mais sinon j'ai pas de solutions là ... je cherche ;o)

Answer 6

le problème reste entier en ce qui me concerne :o(