Per gli appassionati di integrali...?

Question

Sia L(x):= int(dt/t,1,x) (integrale di dt/t da 1 a x)
Come tutti sapete, è L(x):=ln x.
Sappiamo anche che ln x + ln y = ln x.y
Quello che chiedo è: dato L(x) in forma di integrale; potete dimostrare che L(x.y)= L(x)+L(y) usando le proprietà degli integrali, MA NON quelle dei logaritmi?
Grazie per l'attenzione!

Forse non avete capito: si può dimostrare che L(x) + L(y) = L(x.y) usando solo le proprietà degli integrali? Se si come?

Bravo Gaetano! Quando mai ruscirò a mandarti in crisi? hehehe

Answer 1

Vogliamo dimostrare che L(a*b) = L(a)+L(b).
seguendo la tua notazione
L(a*b) = int (1/x, 1, a*b) =
int(1/x,1,a)+ int(1/x, a , a*b)=
(per il 2o termine opero un cambio di variabile t = ax)
L(a) + int(1/t, 1, b)=
L(a) + L(b)

Per inciso ho usato la REGOLA DI SOSTITUZIONE degli integrali, vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_della_sostituzione

Answer 2

int di (1/x+1/y)dxdy = int (x+y/xy)dxdy = ln(xy)

Answer 3

tesoro se non sbaglio non c'e n'è bisogno : è la proprietà di scomposizione degli integrali.

Answer 4

si è una delle proprietà fondamentali del calcolo integrale.