Paradoxe du prisonnier?

Question

Pour ceux qui ne connaissent pas ce paradoxe, le voilà :

On annonce à un prisonnier qu'il sera exécuté à 10h du matin, durant l'un des jours de la semaine qui va débuter (il peut donc être condamné lundi, ou mardi, ou ..., ou dimanche, mais uniquement cette semaine là).
Il ne sera prévenu que le jour même à 9h, de la date de son exécution, de sorte qu'il ne connaisse la date de sa mort qu'une heure avant, et donc que cette date soit une surprise pour lui.

Alors le prisonnier réfléchit puis se dit un peu plus tard : "je ne pourrais pas être condamné". En effet, il a fait le raisonnement suivant :

- supposons que la date de la condamnation soit prévue à dimanche, alors le samedi soir, je serai toujours vivant, et donc je saurais que la condamnation sera le dimanche, et donc ce ne sera plus une surprise. Conclusion : la condamnation ne peut être dimanche.

(la suite arrive)

- supposons que la date de la condamnation soit prévue à samedi, alors le vendredi soir, je serai toujours vivant, et donc je saurais que la condamnation sera le samedi, car je viens de montrer qu'elle ne peut être le dimanche, et donc ce ne sera plus une surprise. Conclusion : la condamnation ne peut être samedi.

-- supposons que la date de la condamnation soit prévue à vendredii, alors le jeudi soir, je serai toujours vivant, et donc je saurais que la condamnation sera le vendredi, car je viens de montrer qu'elle ne peut être le dimanche ni le samedi, et donc ce ne sera plus une surprise. Conclusion : la condamnation ne peut être vendredi.

En poursuivant ainsi son raisonnement, de la même facon il arrive à dire qu'il ne peut être condamné ni le jeudi, ni le mercredi, ni le mardi, ni le lundi.
Le coeur léger, il attend donc la fin de la semaine savant son exécution impossible.

(la fin arrive)

Mais, le jeudi matin, le bourreau arrive et lui annonce qu'il va être exécuté. Sacrée mauvaise surprise !



Il a donc fait une erreur dans son raisonnement, mais je n'arrive pas à voir laquelle. J'ai lu quelquepart qu'il a fait fi de la flèche du temps, mais cette réponse ne me convient pas tout à fait.

Pourriez vous m'éclaicir svp ??? Ce problème me torture l'esprit...

Answer 1

Supposons que le samedi matin il n'ait pas encore été exécuté. Il se dit alors qu'il ne peut pas l'être puisqu'il sait que ça ne peut pas être dimanche. Mais le fait d'être persuadé qu'il ne peut pas être exécuté crée précisément les conditions qui rendent l'exécution possible. Il ne peut pas à la fois dire qu'il sait que ce doit être le samedi et en conclure que par conséquent ça ne peut pas être le samedi parce que la conclusion détruit l'hypothèse.

Answer 2

L'erreur de ton raisonnement vient du fait que tu fais l'hypothèse de rester vivant le samedi pour écarter le dimanche. Or ce n'est qu'une hypothèse car il est possible qu'il soit exécuté le samedi.
le raisonnement s'arrête car il n'ya plus de certitude sur le samedi.

Answer 3

Bon en gros il ne faut pas se faire attraper, cela évite de se masturber l'esprit de la sorte

Answer 4

Je suis d'accord pour dire qu'il utilise mal le raisonnement par récurrence, mais pas pour la même raison que cité ci-dessus ( car on pourrait argumenter qu'il raisonne sur le reste de jour max qu'il lui reste à survivre, et il aura son raisonnement en n+1 à partir de n ).

Son hypothèse initial est tout à fait juste. Il ne pourra être exécuté le Dimanche puisque cela ne sera plus une surprise ( ou dit autrement, si il lui reste que 0 jour maximum avant son exécution, il sera que c'est le jour même ).

Supposons que si il lui reste n jours, il sera quand aura lieu son exécution. Est-ce qu'il sera quand aura lieu son exécution si il lui reste n+1 jours ?

La réponse est non à cause de la flèche du temps. Effectivement, à ce moment là donné ( avant 9h donc ^^), le prisionnier ne sera pas si son exécution aura lieu le jour même ou dans les n jours suivants ( où là, par hypothèse, il sera quand aura lieu son exécution ). Par contre, dès que 9h sera passé, il le sera.

L'erreur de ton prisionnier est de n'avoir pas pris en compte le temps qui s'écoule et d'avoir fait un raisonnement global sur le temps en supposant qu'à chaque jour passé, il ne sera finalement executé au pire que le lendemain.

Answer 5

Le prisonnier effectue un raisonnement par récurrence.
Par contre il l'utilise mal car un tel raisonnement consiste à:
1- avoir une proposition vraie initiale
2- admettre que la proposition est vraie au rang n
3- s'il montre que la proposition est vraie au rang n+1, alors elle est vraie pour tout n.
Le prisonnier, démarre du samedi pour remonter dans la semaine: il part de n et démontre n-1, bref son raisonnement ne démontre rien, dommage pour lui!

Ce paradoxe avait déjà été proposé dans le coin "Enigmes" de Science & Vie.

Answer 6

bon
s'il pleut demain,
je regarderai ce problème cet après midi...

Answer 7

Au départ chaque jour a une proba de 1/7, et il a la certitude de mourir un des 7 jours.
Puis sachant qu'il vit encore, si le mardi matin on lui annonce le pire ce n'est pas vraiment une surprise, il pouvait s'y attendre...(proba 1/6).,Le samedi matin aussi (on en est à 1"chance" /2)
Il n'y a que le dernier jour où, s'il est encore vivant, sa mort est certaine le jour même.
Dire "ce sera une surprise" est donc faux, car chaque jour il peut s'y attendre...et de plus en plus.

Answer 8

pour faire simple, il n'a pas respecté la flèche du temps, cad qu'il a raisonné avec une logique qui considère que cette flèche est dirigée dans l'autre sens.
L'hypothèse de base étant fausse, le raisonnement l'est aussi ainsi que la conclusion.

Answer 9

y un erreur dans le raisonnement, et ça vient de la façon de tourner le problème. Tu parts de dimanche en disant que si le prisonnier arrive le samedi soir vivant, ça ne peut etre que dimanche, la le raisonnement est logique, ça revient a assimiler ça a un tirage dans une urne.
Imagine qu'a 9h du mat il fait son tirage et que le résultat détermine son excécution ou non. On di qu'il y a 6 boules rouges et 1 noire (= éxcécution le jour meme), si ses 6 premiers coups donnent des boules rouges alors le 7e coup donnera forcément une boule noir. Mais ça s'arrete là

après vu que les jours de la semaine s'écoulent du lundi au vendredi ton raisonnement est faux. Si vendredi il est vivant ça peut etre soit samedi soit dimanche. Revenons a notre urne. dans ce cas de figure il a déja tiré 5 boules rouges, et dans l'urne il reste 1 rouge et 1 noire, donc 1 chance sur 2 pour que ce soit samedi , 1 chance sur 2 pour que ce soit dimanche.
Et ainsi de suite pour arrivé le lundi, où il est complètement incertain de son jour d'éxécution, il peut très bien tirer directement le boule noire ou une boule rouge.

Answer 10

Bonsoir.
Ton raisonnement ne fonctionne que s'il reste un jour dans la semaine.

Certes il ne peut être exécuté le dimanche, par contre, le vendredi matin à 8h00, il ne sait pas encore s'il sera exécuter le vendredi, ou le samedi.
Il ne faut pas que tu remontes du dernier jour au premier, en affirmant que ce que tu as dit pour le jour suivant est toujours correct., c'est ca ton erreur.
Amicalement,
Eric