duda sobre potencias?

Question

Hola soy Leandro y queria saber si esto es verdad: toda potencia par de 2 menos 1 es igual a un multiplo de tres.
O sea 2^(2x)-1=3n.

Answer 1

esto deberías demostrarlo por inducción. Es decir queremos ver que 2 ^ (2m) - 1 = 3n siendo m un número natural.
Primero probamos para m = 1
2 ^ (2 * 1) - 1 = 3 por lo tanto se cumple
Suponemos que vale para m y vemos si vale para (m + 1)
entonces para m +1 tendremos
2 ^ (2 (m +1)) - 1 = 3s
entonces 2 ^ (2m +2) - 1 = 3s
entonces 2 ^(2m) * 2 ^2 -1 = 3s
entonces 2^(2m) * 4 - 1 = 3s
entonces 2^2m = (3s + 1) /4
reemplazando 2 ^(2m) en la ecuacion para m
nos queda
(3s +1)/4 - 1= 3n
entonces
(3s +1)/4 = 3n + 1
entonces
3s + 1 = 4 (3n +1)
entonces
3s + 1= 12n + 4
entonces
3s = 12n + 3
entonces
s = 4n + 1
Por lo tanto siendo s un numero natural ya que es un multiplo de otro natural + 1 se deduce que 3s es multiplo de 3 y por lo tanto
hemos probado que para m + 1 se cumple y dado que vale para 1, para m y para m +1 por inducción es válido para cualquier m natural

Answer 2

2^2x -1 es igual a
4^x -1

ENTONCES NOS QUEDA

4^x - 1 = 3n
esto podemos expresarlo como
4^x -1^x = 3n

y por diferencia de cuadrados queda

(4-1)^x = 3n

y por supuesto que
3^x = 3n

Answer 3

Si

Answer 4

Efectivamente ha sido demostrado.