Matemáticas, una ciencia axiomática fundamentada en errores lo creen así?

Question

1/3 + 1/3 + 1/3 = 1, pero 1/3 es igual a .333333.... por lo que seria
.333333.... + .333333.... + .333333.... = .9999999.... que nunca es uno. y como es que un numero finito tiene una infinidad de fracciones. como que la finidad concibe a al infinidad?

Answer 1

Error de redondeo
El problema es que para 1/3 su decimales son infinitas, lo que estás haciendo es redondear la fracción, y al redonder se puede cometer un error de redondeo.
Cuando la fracción tiene un número infinito de decimales, al redondearse siempre se cometerá un errror de redondeo.
1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 = 1

Answer 2

La Matemática efectivamente es una ciencia que estudia entes abstractos mediante la aplicación de leyes de razonamiento deductivo (y a veces intuitivo).

Fue un sueño de fines del siglo XIX y principios del siglo XX construir el edificio de las Matemáticas partiendo de ciertas definiciones y axiomas y de ahí, paultinamente todos los teoremas y resultados de la aritmética, la geometría, el álgebra, el cálculo, etc.

Russell y Whitehead publicaron en la primera década del siglo XX su "Principia Mathematica" y con ello se pensaba que el sistema formal que se constituía en el "esqueleto" de todo el saber matemático quedaba sólidamente fundamentado.

Desafortunadamente Kurt Gödel (matemático y lógico alemán) destruyó ese sueño, al proponer su famoso Teorema de incompletitud que declaraba que ningun sistema formal por sólido que fuera dejaba de tener inconsistencias enraizadas en el interior del sistema mismo. Esto implicaba que siempre existirían proposiciones "indecidibles" que no podrían ser calificadas nunca de "verdaderas" o "falsas" (Ejemplo: la famosa paradoja de la frase: "Esta frase es falsa" o la del cretense que decía: "Todos los cretenses son mentirosos").

De hecho, entre más sólido se construía el sistema formal, más susceptible era de encontrar la incompletitud y la inconsistencia.

Sin embargo, este "agujero" en la pretensión de hacer de las Matemáticas un sistema basado en definiciones y axiomas no tiene que ver con el ejemplo que proporcionas respecto a la forma en que redondeas las suma de decimales periódicos infinitos (como ya te lo han explicado otros amigos que me preceden).

En las Matemáticas existen los errores, pero no por la forma en que se construyen sus axiomas, ni por la validez de éstos, sino por fallas humanas en la interpretación y manipulación de los conceptos que ella comprende.

¡Suerte!

Answer 3

Lo que pasa es que estás confundiendo los números con su representación por medio de dígitos.

Eso que estás escribiendo .333333.... y .99999... son solamente sucesiones de dígitos.

Los números son entidades abstractas, que se definen por otro camino. Una de las maneras de definir los números es por medio de la geometría euclidiana:
el conjunto de números es un sistema algebraico equivalente al sistema de puntos de una línea recta en la geometría euclidiana.
(La formalización de esta última frase requiere detalles más extensos que no pongo aquí).

Después que se demuestra que ese sistema de ''números'' (que al definirlos así, con geometría, son quienes sirven para medir cualquier segmento en una línea recta), se procede a buscar una representación por medio de dígitos.

En esa representación, las operaciones aritméticas tienen que tener reglas que den resultados compatibles con los números definidos en abstracto (isomorfismo).

La asignación se hace de tal suerte que, si la suma de los dígitos de dos cadenas de dígitos ''converge'' a un mismo número, entonces ambas cadenas de dígitos ''representan'' el mismo número.

Por ejemplo, la cadena de digitos 0.9999999... es la suma de 9/10+9/100+9/1000+9/10000+.... Esa suma infinita tiene resultado igual a 1.
Y la cadena de dígitos 1.000000... obviamente también tendrá suma de dígitos igual a 1.

De modo que no hay ambigüedad entre el 0.9999999... y el 1.000000...
Ambas cosas son cadenas de dígitos diferentes, como se ve a simple vista, pero lo cierto es que ''representan'' a un mismo número, a saber, al ''1''.

Siempre es importante en aritmética entender la diferencia entre número (que es algo abstracto) y representación de número, que puede venir dada por cualquier cosa que se nos ocurra, vía un ISOMORFISMO, y que puede haber varias ''representaciones'' para un mismo número.

Para tener más claro las fundamentaciones del número, debes primero investigar: axiomas de los números naturales, luego construcción de los números enteros, luego construcción de los números racionales, y por último la construcción de los números reales.
Es en esta última etapa en donde es correcto introducir las representaciones por dígitos. Sin embargo los números reales se pueden representar de varias maneras equivalentes:

* Puntos en una línea recta
* Encajes de Intervalos.
* Clases de equivalencia de sucesiones de números racionales aproximantes a un número real dado.
* Método de cortaduras de Dedekind.
* Cadenas o sucesiones de digitos.

Además, el problema que apuntaste con los 0.33333....
solamente depende de la representación que usa DIEZ dígitos. O sea, el problema es la base DIEZ.
Por ejemplo, si se usa la base 3 (o sea, solamente los dígitos 0, 1 y 2), en ese caso, el número 0.33333.... que estaba en base diez, pasa a representarse por medio de 0.1 en base 3.
Luego 0.1+0.1+0.1=1, sin problemas con 9's.

Esto te muestra que el problema de los dígitos depende exclusivamente de la representación de los números, y no de los números en sí, siempre entidades ABSTRACTAS.

Answer 4

Hola! Me voy a concentrar en la parte del finito -> infinito. Piensa en un camino. El camino de la puerta de tu casa al coche (o al autobús). Si quieres contar el número de metros en tu camino entonces vas a tener un número finito. 10 metros o así. Luego piensa en dividir esos metros en centímetros. El número se multiplica por diez. Pero si continuas dividiendo el camino en FRACCIONES cada vez más precisas y pequeñas, y más aún, si no dejas de partir el camino en fracciones, vas a generar un número infinito de partes de un camino finito. Donde está el error? Quizás esta analogía ya la habías pensado pero lo importante es que la definición matemática del infinito, no significa una línea sin extremos o un lapso sin principio o fin. Sólo algo incontable y eso puede ser hasta el número de divisiones que puedes hacer de tu pulgar. Entonces el error está en que nuestro entendimiento común no empata con las definiciones formales (ciertamente axiomáticas) de la matemática.

Answer 5

no hay errores en las matematicas, un número finito puede tener infinidad de fracciones puesto que racionalmente las matemáticas se valen de eso paa representar lo que se pretende, sin embargo las matematicas te muestran las cosas como debieran ser, no como son, su funcion es ser un parámetro a seguir, un lenguaje científico, el cual es muy bueno... no se funda en errores, el error es creer q las matematicas representan tal cual la realidad.

Answer 6

lo que pasa es que te faltaron 3´s en tus fracciones como estas son infinitas, te tiene que dar 1