comment peut on démontrer la formule suivante ?

Question

arg (z bar) = - arg (z).

pour commencer on sait que z = |z| (cos (x) + i sin (x)) donc sa formule conjuguée est z bar = |z| (cos (x) - i sin (x)).

mais je n'arrive pas a aller plus loin dans cette démonstration. merci de m'indiquer ce qu'il faut faire.

rodgeur peuvez vous donner plus d'informations ?

Answer 1

z = |z|.( cos(x)+i.sin(x) ) car arg(z)=x
z bar = |z|.( cos(x)-i.sin(x) )
or cos(-x) = cos(x)
et sin(-x) = - sin(x)
donc z bar = |z|.( cos(-x)+i.sin(-x) )
donc arg(z bar)= -x = - arg(z)

Answer 2

Tu y es.
trace un cercle trigonometrique et remarques que
cos x = cos (-x)
et que
sin x = - sin (-x) soit - sin x = sin (-x)


est ce que Rodgeur veut dire qu'il ne faut pas oublier le 2kpi?

Answer 3

z bar = |z| (cos(-x)+isin(-x))

DONC z barre est d'argument - x = - arg z mod 2 pi

Answer 4

Pour revenir sur ce qu'a dit Rodgeur, ce n'est pas nécessaire de montrer deux inclusions pour prouver que les ensembles sont égaux, car on connaît a priori leur forme, à savoir ( x + 2*i*pi*Z ), où x est un réel.
Plus formellement les arguments sont des classes d'équivalence (de R modulo 2*i*pi*Z) et il est toujours vrai que deux classes d'équivalence (au sens de n'importe quelle relation) sont soit disjointes soit égales.
Donc il suffit dans ce cas particulier de montrer que ces ensembles ne sont pas disjoints pour prouver qu'ils sont égaux.
Ainsi le raisonnement suivant marche :
Soit x un élément de Arg(z).
z barre = |z| (cos (x) - i sin (x)) = |z| (cos (-x) + i sin (-x)).
Donc -x appartient à Arg(z barre), Arg(z barre) est la classe d'équivalence de -x.

Mais si on maîtrise bien la notion de classe d'équivalence on peut s'affranchir de tout ce bla bla et simplement donner les deux lignes de calcul ci-dessus.

Answer 5

Pour corriger les réponses précédentes, je rappelle que si z est un complexe, alors arg(z) n'est pas un réel mais un ensemble de réels...

La démonstration doit donc se faire par double inclusion.


Pour plus de précision :
par définition, arg (z) = { x€R | z= |z| exp(ix) }
c'est vrai que par abus d'écriture, on appelle parfois argument d'un complexe la valeur principale de l'ensemble précédent, c'est à dire celle qui est comprise entre 0 et 2pi (ou -pi et pi).

Mais la définition rigoureuse de l'argument d'un complexe est celle avec l'ensemble ( ce qui revient en quelque sorte à écrire "+ 2k*pi" ou à considérer les écritures modulo pi).

C'est pour ca que pour montrer que arg (z bar) = - arg (z), il faut montrer l'égalité de deux ensembles, ce que l'on fait habituellement par double inclusion.

Pour cela tu dois faire 2 choses :
- prendre un élément x de arg(z bar) et montrer que -x appartient à arg(z)
- prendre un élément x de arg(z) et montrer que -x appartient à arg(z bar).

Bon pour montrer une formule aussi simple c'est un peu lourd de faire ca, sinon il te suffit juste de montrer que x appartient à arg(z bar) si et seulement si (équivalence) -x appartient à arg(z).

Pour cela il suffit de reprendre les réponses aux questions précédentes, de rajouter des "+2k*pi" , et de bien écrire des équivalences et non des implications.

Voilà j'espère avoir été clair, bon courage.


Encore une chose, les réponses précédentes donnent la solution avec une démonstration qui utilise des cos et des sin, ca marche très bien comme ca mais je te conseille plutôt de passer par les exponentielles complexes, c'est moins lourd et plus élégant et plus facile à manipuler.

Answer 6

Tu es en quelle classe ?

Answer 7

je suis fasciné parce que je ne comprend absolument rien.

Answer 8

z = |z| (cos (x) + i sin (x))
z bar =|z| (cos (x) - i sin (x)).
Or cos(-x) = cos(x) et sin(-x)=-sin(x)
donc z bar = |z| (cos (-x) + i sin (-x))

Answer 9

ça me fait mal a la tete !!! desolé !!!

Answer 10

dimanche soir????