Problema de inducción?

Question

Demostrar que 3^n>n^3

Answer 1

Sea n = 2
3^2 = 9 > 2^3 = 8

sea n = 10

3^10 = 59.049 > 10^3 = 1.000

Answer 2

Notemos que tu afirmación es valida para n=1 y 2
si n = 1
3^1 > 1³; 3>1 se cumple
si n=2
3² >2³; 9>8 se cumple

pero si n=3
3³ >3³; 27>27 no se cumple salvo que tuvieras que demostrar
3n³ ≥(n+1)³

tomemos entonces como base de inducción n=4
3^4 >4³; 81>64 se cumple

Suponemos que se cumple para n =k
3^k > k³
y lo demostramos para n=k+1
3^(k+1) = 3(3^k) > 3 k³ (por la hipótesis de inducción)

pero
3 k³> (k+1)³ (ver demostración abajo)

entonces
3^k > (k+1)³ que es lo que se quería demostrar.


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Demostración necesaria
3n³ >(n+1)³ si n = 3,4,5…

si n=3
81 > 64 se cumple para la base n=3

Suponemos que se cumple para n =k
3k³ >(k+1)³ obviamente aquí k>3

y lo demostramos para n=k+1
3(k+1)³ = 3k³ + 9k² + 9k +3 >
(k+1)³ + 9k² + 9k +3 = (por hipótesis de inducción)
k³ + 12k² + 12k +4 =
k³ + 3k²(2) + 3k(2)² + 6k² +4 > …
como
6k² +4> 8

…> k³ + 3k²(2) + 3k(2²) + 2³= (k+2)³
3(k+1)³ > ((k+1)+1)³

Que es lo que se quería demostrar…
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Espero que te sea útil.

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Pues nos siempre los caminos cortos llevan a mejores resultados, a veces conviene ser más explicito y explicar con todo detalle. Este no es el caso, aunque me gusta mi respuesta por usar inducción al menos dos veces, la respuesta de ElCacho es precisa y elegante.

Answer 3

Sorprende la demostración de mi amigo "sicklefaucille" pues contiene una sucesión de demostraciones por inducción, lo que la torna ideal para practicar -con recurrencia- el método.

Las Matemáticas -como todo "lenguaje"- permite expresar las mismas ideas, pero con otras "palabras". Por ello, adjunto el enlace: http://img249.imageshack.us/img249/5224/demo235yf.gif donde se puede evaluar otra demostración por inducción acerca de la validez de la desigualdad en cuestión.
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