lim (sin x)/x ( x~~>0)?

Question

montrer que [(sinx)/x]~~>0 quand x~~>0 sans utiliser l'hopital.

Answer 1

on a (sinx) =>(1<[x/(sinx)]<[1/(cosx)] (multiplication par sinx)
enfin on a x/sinx entre 1 et une lim =1(1/cos)...

Answer 2

Enoncé faux. La limite est 1, pas 0 !
sinx/x = (sinx - 0):(x - 0) = (sinx - sin 0):(x - 0)
Par définition, la limite de ce quotient lorsque x tend vers 0 est égal au nombre dérivé en 0 de la fonction sinus donc cos 0 donc 1

Answer 3

on va travailler avec la definition du numobre drive pour repondre a cette question : donc on a :
lim [ (sinx- sin0 ) / (x - 0)] quand x~~>0 egale :
lim [(sinx)/x]= sin'(0) = cos(0) =1

Answer 4

Bonsoir, Désolé : Ta question montre que tu n'a pas réfléchi à ce problème élémentaire. Sin(x) varie de -a million à +a million... Alors, quand on divise cela par quelque chosen de très grand, cela nous donne quoi ? 0, pas besoin de calcul. Travaille, bonne danger !

Answer 5

on sait le devloppement limité de sinx a l ordre 3
sinx=x-xp3/3! et
sinx/x=1-xp2/3!
eq lim sinx/x x___0 = lim 1-xp2/3!=1d ou
cette limite est de 1 au voisinage de 0

Answer 6

Il faut faire un développement limité au voisinage de 0 de sin x.

Answer 7

un petit probleme la, la limite c'est 1 pas 0

sin X est equivalent a X -X3/6 + X5/5!

donc sin X / X ~ 1-X2/6 + .....

et quand X tend vers 0, ca fait 1

Answer 8

et un developpement de Taylor, c'est autorise?
sin(x)=x + o(x)
Ca tend plutot vers 1, ton truc?

Answer 9

T'es mal barré, la limite est 1.

sin(x)=x+O(x)

Donc sin(x)/x=1+O(1)

Je ne sais pas si tu peux utiliser ce raisonnement, alternative:

x-x^3/3!
Démonstration :

sin(x)=x+intégrale de 0 à x de(-sin(t).(x-t))
(u=x-t, v=cos(t))
= x+intégrale de 0 à x de (-cos(t).(x-t)²)
(même idée)
=x-x^3/6+intégrale de 0 à x de (sin(t).(x-t)^3)


Comme sin(t) est positif sur [0;pi], on trouve l'inégalité immédiatement (l'intégrale d'une fonction négative...).

Une fois qu'on a cette inégalité, il suffit de la diviser par x (positif sachant qu'il faut préciser qu'une démonstration "miroir" peut se faire pour x négatif !!).

Voila, c'est au marteau-piqueur, mais en principe cette démonstration n'utilise que des concepts minimaux (raison pour laquelle...).

Une solution plus élégante est d'utiliser le développement de Taylor et de constater qu'il s'agit d'une série alternée.

Answer 10

retournes-y a l'hopital psychiatrique