Qualcuno mi sa dire xke il rapporto tra due numeri consecutici della serie di fibonacci converge??

Question

Se possibile anke la dimostrazione magari :)

Answer 1

Bella domanda.
Vediamo vari motivi...
1) Dato che si dimostra che nello sviluppo della serie si ottiene una successione numerica che approssima sempre di più una progressione geometrica di ragione Ø fi
si ha che per n molto grande il termine An essendo circa uguale a fi^n
Quindi A(n+1)/A(n) = fi^(n+1) / fi^n = fi
Rif.
http://www.provincia.venezia.it/lartis/log/aurea/serie_fibo.htm

2)
Dato che:
An := An-1 + An-2
abbiamo che Fn è una successione ricorsiva lineare del secondo ordine, omogenea.
Sperando che esistano r,c tale che
An = c * r^n
Abbiamo che in tal caso si avrà
c r^n = c r^(n-1) + c r^(n-2)
ossia
r^n = r^(n-1) + r^(n-2) (equazione caratteristica)
Ossia, dividendo per r^(n-2) :
r^2 = r + 1
r^2 - r - 1 = 0
Che ammette soluzioni:
(1 +- sqr(5))/2
di cui scartiamo (1 - sqr(5))/2 che conduce ad una serie alternata
rimandendo con la soluzione
(1 + sqr(5))/2 ossia FI
Avendo trovato che r esiste significa che An converge a FI^n
Quindi A(n+1) / A(n) = FI

Tutto chiaro?

Answer 2

ciao sosia