quel est l'application pratique d'un hypercube ?

Answer 1

Une dimension : la droite (une coordonnée : x )
Permet de définir un segment ( exemple : 2 point reliés
(0)
(1).
Dans ce cas, on a fait prendre à x les valeurs 0 et 1 de toutes les façons possibles.
2 manières

Deux dimensions : le plan (deux coordonnées : x et y )
permet de définir un "carré" ( exemple : 4 point reliés
(0,0)
(0,1)
(1,0)
(1,1).
Dans ce cas, on a fait prendre à x et y les valeurs 0 et 1 de toutes les façons possibles.
2x2 = 4 manières

Trois dimensions : trois coordonnées : x y et z
permet de définir un "cube" ( exemple : 8 points reliés
(0,0,0)
(0,1,0)
(1,0,0)
(1,1,0)
(0,0,1)
(0,1,1)
(1,0,1)
(1,1,1).
Dans ce cas, on a fait prendre à x, y et z les valeurs 0 et 1 de toutes les façons possibles.
2x2x2 = 8 manières
C'est notre monde perceptible.
Mais on peut "extrapoler" les dimensions conceptuellement.
En particulier, passer à quatre dimensions.

Quatre dimensions : quatre coordonnées : x y z et w
permet de définir un "hyper cube" ( exemple : 16 points reliés

(0,0,0,0)
(0,1,0,0)
(1,0,0,0)
(1,1,0,0)
(0,0,1,0)
(0,1,1,0)
(1,0,1,0)
(1,1,1,0)

(0,0,0,1)
(0,1,0,1)
(1,0,0,1)
(1,1,0,1)
(0,0,1,1)
(0,1,1,1)
(1,0,1,1)
(1,1,1,1).

De la même façon, on peut passer à 5, 6 etc dimensions.

Intérêt de ces dimensions : à partir d'une définition conceptuelle d'un objet à trois dimensions (cube, sphère, etc ...), il est possible d'étendre la règle aux dimensions supérieures. (exemple : la définition du cube décrite ci-dessus)
Bien sûr, on ne peut voir directement l'objet à quatre dimensions. Par contre, on peut en voir son "ombre", c'est à dire la projection de cet objet dans notre monde à trois dimensions.
(de la même façon que nous représentons des objets 3D sur un écran 'projection 3D vers la 2D)

La règle pour construire ces objets est basée sur le principe du raisonnement par récurence des mathématiques.
Je reprends l'exemple du carré, cube, hypercube.
On se définit un objet 2D (carré).
On se définit l'objet 3D qui demble équivalent. Il sembe logique de passer du carré au cube.
Ce passage de construction de l'objet 2D vers la 3D est ensuite repris pour passer de la 3D vers la 4D, etc ...

Pourquoi appeler ce principe "récurence" ?
Car il fonctionne de la même manière que le raisonnement par érécurence".
Quel est-il ?
On veut savoir si une propriété sur un "entier" est toujours vraie.
Le raisonnement par récurence est le suivant : on suppose vraie la propriété vraie pour "n", on démontre qu'elle est encore vraie pour "n+1".
Enfin, on vérifie qu'elle est au moins vraie pour le premier "n" (n=0).

Dans mon exemple de l'hypercube, j'ai employé la même méthode.
On définit "conceptuellement" une classe d'objet, que l'on place dans un espace à x dimensions : 1, 2, 3, 4 ...
On vérifie que le passage d'une dimension à la dimension supérieure est correcte. Passage du point au carré, carré vers le cube.
Comme cela semble correcte, on applique e même passage de la dimension 3 vers 4, etc ... pour définir des objets que nous ne voyobs pas réellement.

Avec ce procédé, on peut définir des objets simples dans l'espace à 4 dimensions (et plus)
Première famille : segment, carré, cube, hypercube ...
Seconde famille : point, cercle, sphère, hypersphère ...
Troisième famille : segment, triangle, tétraède, hypertétraède, ...

Etonnant, non ?

Answer 2

Donc l'hypercube est composé de :

16 sommets ;
32 arêtes ;
8 faces cubiques (soit 24 faces planes) : chacune des faces du tesseract est un cube.
L'intersection d'un hypercube avec un hyperplan donne l'équation cartésienne :

ax + by + cz + dw = e
Avec les quatre coordonnées de l'hyperespace de dimension 4, à savoir x, y, z, et w. En réalité, un hyperplan en quatre dimensions peut être comparé à l'espace tridimensionnel, c'est à dire que l'intersection d'un hypercube avec un plan est en fait une projection 3D de cet hypercube.

Volume : c4, avec c le côté de l'hypercube.
Aire totale : 24c2
Les faces d'un hypercube sont :

Avant / Arrière
Gauche / Droite
Haut / Bas
Ana / Kata

n dimensions [modifier]
Un hypercube à n dimensions possède :

Vn = 2n sommets ;
Sn = 2 × Sn-1 + Vn-1 arêtes ;
Fn = 2 × Fn-1 + Sn-1 faces planes ;
HFn = 2 × HFn-1 + Fn-1 hyperfaces (cubes ou faces cubiques) ;
Il en va de même pour les hyperfaces en 5 dimensions (faces hypercubiques) etc.
De manière générale, le nombre de faces à k dimensions d'un hypercube à n dimension est égal à


Le nombre total de faces d'un hypercube est de 3n − 1
Volume = cn avec c le côté de l'hypercube
Aire totale = Fnc2 avec Fn le nombre de faces

Représenter un hypercube de dimension n [modifier]
Pour représenter un hypercube de dimension n, on procède comme suit :

Dimension 1 : On trace un cube de dimension 0 (un point), on reproduit son image et on lie les deux points


Dimension 2 : On trace un cube de dimension 1 (une ligne), on reproduit son image et on lie les points deux à deux


Dimension 3 : On trace un cube de dimension 2 (un carré), on reproduit son image et on lie les points deux à deux


Dimension 4 : On trace un cube de dimension 3 (un cube), on reproduit son image et on lie les points deux à deux
...

Dimension n > 3 : On trace un hypercube de dimension n-1, on reproduit son image et on lie les points deux à deux
En résumé, la construction d'un cube se fait par la translation du cube de dimension inférieure selon un axe perpendiculaire aux dimensions de ce cube.

Answer 3

A faire réfléchir.
A développer le raisonnement logique

Answer 4

Il n'y a - pour le moment - pas d'application pratique.
L'intérêt : Faire réfléchir.

Answer 5

jouer à l'hyperRubik's cube ?






OK, je sors.

Answer 6

.....Y coincer des gens sans raisons apparentes......

Answer 7

Glups glups glups ! je suis l' hypercube...